Đề bài

Lấy cạnh \(BC\) của một tam giác đều làm đường kính, vẽ một nửa đường tròn về cùng một phía với tam giác ấy đối với đường thẳng \(BC\). Cho biết cạnh \(BC = a\). Hãy tính diện tích của hai hình viên phân được tạo thành.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+ Sử dụng công thức tính diện tích quạt tròn bán kính \(R\), số đo \(n^\circ \) là \(S = \dfrac{{\pi {R^2}n}}{{360}}\)

+ Công thức tính diện tích tam giác \(S = \dfrac{1}{2}ah\) với \(a\) là độ dài cạnh đáy, \(h\) là chiều cao ứng với cạnh đáy.

Lời giải chi tiết

Gọi \(D,E\) lần lượt là giao của hai cạnh \(AB,AC\) với nửa đường tròn đường kính \(BC\).

Nối tâm \(O\) với \(D\) và \(E\) (h.60)

Xét \(\Delta BOE,\) ta có \(OB = OE = \dfrac{{BC}}{2}\) là bán kính của đường tròn đường kính \(BC\) và \(\widehat B = 60^\circ  \Rightarrow \Delta BOE\) là tam giác đều. 

Vậy \(\widehat {BOE} = 60^\circ .\)

Ta có : \({S_1} = {S_{quạt\,BOE}} - {S_{\Delta BOE}}\)

Theo công thức tính diện tích hình quạt ta có :

\({S_{quạt\,BOE}} = \dfrac{{\pi {R^2}n}}{{360}}\), trong đó \(n^\circ  = \widehat {BOE} = 60^\circ ;R = OE = \dfrac{a}{2}.\)

Vậy \({S_{quạt\,BOE}} = \dfrac{{\pi {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}.60}}{{360}} = \dfrac{{\pi {a^2}}}{{24}}.\)

\({S_{\Delta BOE}} = \dfrac{1}{2}OB \cdot h;\)  trong đó \(h = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\) vì \(\Delta BOE\) đều.

\( \Rightarrow {S_{\Delta BOE}} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{a}{2} \cdot \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{{16}}.\)

Mà \({S_1} = {S_{quạt\,BOE}} - {S_{\Delta BOE}} = \dfrac{{\pi {a^2}}}{{24}} - \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{{16}}\)\( = \dfrac{{{a^2}}}{{48}}\left( {2\pi  - 3\sqrt 3 } \right).\)

Vậy diện tích hình viên phân \({S_1} = \dfrac{{{a^2}}}{{48}}\left( {2\pi  - 3\sqrt 3 } \right)\) 

Tương tự, ta có \({S_2} = \dfrac{{{a^2}}}{{48}}\left( {2\pi  - 3\sqrt 3 } \right)\) vì \(OD = OE = DC = BE\) nên \(\Delta BOE = \Delta COD\) và \(\overparen{BE}=\overparen{CD}\). 

Suy ra \({S} = S_1+S_2\)\(=\dfrac{{{a^2}}}{{24}}\left( {2\pi  - 3\sqrt 3 } \right).\)

soanvan.me