Đề bài

Cho tam giác ABC. Lấy các điểm A', B', C' không trùng với đỉnh của tam giác và

lần lượt thuộc các cạnh AB, BC, CA thoả mãn \(\frac{{AA'}}{{AB}} = \frac{{BB'}}{{BC}} = \frac{{CC'}}{{CA}}\). Chứng minh hai tam giác ABC và A'B'C' có cùng trọng tâm.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Bước 1: Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, G’ là trọng tâm tam giác A’B’C’. Biến đổi biểu thức \(\overrightarrow {AA'}  + \overrightarrow {BB'}  + \overrightarrow {CC'} \) sao cho xuất hiện vectơ \(\overrightarrow {GG'} \) (sử dụng các quy tắc vectơ)

Bước 2: Sử dụng giả thiết \(\frac{{AA'}}{{AB}} = \frac{{BB'}}{{BC}} = \frac{{CC'}}{{CA}}\)biểu diễn các vectơ \(\overrightarrow {AA'} ,\overrightarrow {BB'} ,\overrightarrow {CC'} \) theo \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {CA} \)

Bước 3: Chứng minh \(\overrightarrow {GG'}  = \overrightarrow 0 \) rồi kết luận

Lời giải chi tiết

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, G’ là trọng tâm tam giác A’B’C’.

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0 \\\overrightarrow {GA'}  + \overrightarrow {GB'}  + \overrightarrow {GC'}  = \overrightarrow 0 \end{array} \right.\)

Xét \(\overrightarrow {AA'}  + \overrightarrow {BB'}  + \overrightarrow {CC'}  = \overrightarrow {AG}  + \overrightarrow {GG'}  + \overrightarrow {G'A'}  + \overrightarrow {BG}  + \overrightarrow {GG'}  + \overrightarrow {G'B'}  + \overrightarrow {CG}  + \overrightarrow {GG'}  + \overrightarrow {G'C'} \)

                             \( = \left( {\overrightarrow {AG}  + \overrightarrow {BG}  + \overrightarrow {CG} } \right) + \left( {\overrightarrow {GA'}  + \overrightarrow {GB'}  + \overrightarrow {GC'} } \right) + 3\overrightarrow {GG'}  = 3\overrightarrow {GG'} \) (1)

Mặt khác, đặt \(\frac{{AA'}}{{AB}} = \frac{{BB'}}{{BC}} = \frac{{CC'}}{{CA}} = k \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AA' = kAB\\BB' = kBC\\CC' = kCA\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AA'}  = k\overrightarrow {AB} \\\overrightarrow {BB'}  = k\overrightarrow {BC} \\\overrightarrow {CC'}  = k\overrightarrow {CA} \end{array} \right.\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(3\overrightarrow {GG'}  = k\overrightarrow {AB}  + k\overrightarrow {BC}  + k\overrightarrow {CA}  = k\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CA} } \right) = \overrightarrow 0 \) \( \Rightarrow \overrightarrow {GG'}  = \overrightarrow 0 \)

Do đó G và G’ trùng nhau. Vậy hai tam giác ABC và A'B'C' có cùng trọng tâm.