Đề bài
Cho tam giác \(ABC.\) Điểm \(M\) nằm trên đường phân giác của góc ngoài đỉnh \(C\) (\(M\) khác \(C\)). Chứng minh rằng \(AC + CB < AM + MB.\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+) Sử dụng tính chất đường trung trực: Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.
+) Trong tam giác cân, đường trung tuyến ứng với cạnh đáy cũng là đường trung trực, đường phân giác.
+) Sử dụng bất đẳng thức tam giác: Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng lớn hơn độ dài cạnh còn lại.
Lời giải chi tiết
Trên tia đối tia \(CB\) lấy điểm \(E\) sao cho \(CE = CA.\) Nối \(MA,\) \(ME\) nên \(∆ ACE\) cân tại \(C\) có \(CM\) là đường phân giác nên \(CM\) cũng là đường trung trực (tính chất tam giác cân)
\(⇒ MA = ME\) ( tính chất đường trung trực)
Ta có: \(AC + BC = BC + CE = BE \;\;(1)\) (vì \(CE = AC\))
\( MA + MB = MB + ME \;\; (2)\)
Trong \(∆ MBE\) ta có: \(BE < MB + ME\) ( bất đẳng thức tam giác) \( (3)\)
Từ \((1), (2)\) và \((3)\) suy ra: \(AC + BC < MA + MB\)
soanvan.me