Đề bài
Cho biểu thức
\(\displaystyle Q = {a \over {\sqrt {{a^2} - {b^2}} }} - \left( {1 + {a \over {\sqrt {{a^2} - {b^2}} }}} \right):{b \over {a - \sqrt {{a^2} - {b^2}} }}\) với a > b > 0
a) Rút gọn Q
b) Xác định giá trị của Q khi a = 3b
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Biến đổi trong ngoặc trước sau đó áp dụng hằng đẳng thức \(\left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right) = {a^2} - {b^2}\) để biến đổi và rút gọn Q.
b) Thay \(a=3b\) vào biểu thức đã rút gon để tính toán.
Lời giải chi tiết
a)
\(\begin{array}{l}
\dfrac{a}{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }} - \left( {1 + \dfrac{a}{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }}} \right):\dfrac{b}{{a - \sqrt {{a^2} - {b^2}} }}\\
= \dfrac{a}{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }} - \dfrac{{a + \sqrt {{a^2} - {b^2}} }}{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }}.\dfrac{{a - \sqrt {{a^2} - {b^2}} }}{b}\\ = \dfrac{a}{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }} - \dfrac{{{a^2} -\left( \sqrt{ {{a^2} - {b^2}}} \right)^2}}{{b\sqrt {{a^2} - {b^2}} }}\\
= \dfrac{a}{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }} - \dfrac{{{a^2} - \left( {{a^2} - {b^2}} \right)}}{{b\sqrt {{a^2} - {b^2}} }}\\ = \dfrac{a}{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }} - \dfrac{b^2}{b.{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }}\\
= \dfrac{a}{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }} - \dfrac{b}{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }}\\
= \dfrac{{a - b}}{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }}\\
= \dfrac{{\sqrt {a - b} .\sqrt {a - b} }}{{\sqrt {a - b} .\sqrt {a + b} }}\, (do\,\, a>b>0)\\
= \dfrac{{\sqrt {a - b} }}{{\sqrt {a + b} }}
\end{array}\)
Vậy \(Q= \dfrac{{\sqrt {a - b} }}{{\sqrt {a + b} }}.\)
b) Thay \(a = 3b\) vào \(Q= \dfrac{{\sqrt {a - b} }}{{\sqrt {a + b} }}\) ta được:
\(Q=\dfrac{{\sqrt {3b - b} }}{{\sqrt {3b + b} }} = \dfrac{{\sqrt {2b} }}{{\sqrt {4b} }} \\= \dfrac{{\sqrt {2b} }}{{\sqrt 2 .\sqrt {2b} }} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\)
soanvan.me