1. Căn bậc hai số học
+) Căn bậc hai của một số không âm là số \(x\) sao cho \({x^2} = a.\)
+) Số dương \(a\) có đúng hai căn bậc hai là \(\sqrt a \) (và gọi là căn bậc hai số học của \(a\)) và \( - \sqrt a .\)
+) Số \(0\) có đúng một căn bậc hai là chính số \(0\) và nó cũng là căn bậc hai số học của \(0.\)
+) Với hai số không âm \(a,b,\) ta có \(a < b \Leftrightarrow \sqrt a < \sqrt b .\)
2. Căn thức bậc hai
+) Với \(A\) là một biểu thức đại số, ta gọi \(\sqrt A \) là căn thức bậc hai của \(A\).
+) \(\sqrt A \) xác định (hay có nghĩa) khi \(A\) lấy giá trị không âm tức là $ A \ge 0.$
\(\sqrt {{A^2}} = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\begin{array}{*{20}{c}}{}&{{\rm{khi }}A \ge 0}\end{array}\\ - A\begin{array}{*{20}{c}}{}&{{\rm{khi }}\, A < 0}\end{array}\end{array} \right..\)
3. Liên hệ giữa phép nhân, phép chia với phép khai phương
Khai phương một tích: \(\sqrt {A.B} = \sqrt A .\sqrt B {\rm{ }}(A \ge 0,B \ge 0)\)
Nhân các căn bậc hai: \(\sqrt A .\sqrt B = \sqrt {A.B} {\rm{ }}(A \ge 0,B \ge 0)\)
Khai phương một thương: \(\sqrt {\dfrac{A}{B}} = \dfrac{{\sqrt A }}{{\sqrt B }}{\rm{ }}(A \ge 0,B > 0)\)
Chia căn bậc hai: \(\dfrac{{\sqrt A }}{{\sqrt B }} = \sqrt {\dfrac{A}{B}} {\rm{ }}\left( {A \ge 0,B > 0} \right)\)
4. Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai
Với \(A \ge 0\) và \(B \ge 0\) thì \(\sqrt {{A^2}B} = A\sqrt B \)
Với \(A < 0\) và \(B \ge 0\) thì \(\sqrt {{A^2}B} = - A\sqrt B \)
Với \(A \ge 0\) và \(B \ge 0\) thì \(A\sqrt B = \sqrt {{A^2}B} \)
Với \(A < 0\) và \(B \ge 0\) thì \(A\sqrt B = - \sqrt {{A^2}B} \)
Với \(A.B \ge 0\) và \(B \ne 0\) thì \(\sqrt {\dfrac{A}{B}} = \dfrac{{\sqrt {AB} }}{{\left| B \right|}}\)
Với \(B > 0\) thì \(\dfrac{A}{{\sqrt B }} = \dfrac{{A\sqrt B }}{B}\)
Với \(A > 0\) và \(A \ne {B^2}\) thì \(\dfrac{C}{{\sqrt A \pm B}} = \dfrac{{C(\sqrt A \mp B)}}{{A - {B^2}}}\)
