Câu 1
Nêu điều kiện để x là căn bậc hai số học của số a không âm. Cho ví dụ.
Lời giải chi tiết:
Để \(x\) là căn bậc hai số học của số \(a\) không âm thì \(x ≥ 0\) và \(x^2 = a.\)
Ví dụ: số 2 là căn bậc hai số học của 4 vì \(2 > 0\) và \(2^2 = 4.\)
Câu 2
Chứng minh \(\sqrt {a^2} = |a|\) với mọi số a.
Phương pháp giải:
Nếu \(x ≥ 0\) và \(x^2 = a\) thì \(x\) là căn bậc hai số học của số \(a\) không âm.
Lời giải chi tiết:
Ta xét hai trường hợp:
+) Nếu \(a > 0 \Rightarrow \left| a \right| = a \Rightarrow {\left| a \right|^2} = a\)
+) Nếu \(a < 0 \Rightarrow \left| a \right| = - a \Rightarrow {\left| a \right|^2} = {\left( { - a} \right)^2} = {a^2}\)
Hay ta luôn có \({\left( {\left| a \right|} \right)^2} = {a^2}\left( 1 \right)\) mà \(\left| a \right| \ge 0\) với mọi \(a\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\left| a \right|\) là căn bậc hai số học của \({a^2}\) hay \(\sqrt {{a^2}} = \left| a \right|\)
Câu 3
Biểu thức A phải thỏa mãn điều kiện gì để \(\sqrt A \) xác định?
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(\sqrt A \) xác định khi \(A \ge 0\) hay nói cách khác : điều kiện xác định của căn bậc hai là biểu thức lấy căn không âm.
Câu 4
Phát biểu và chứng minh định lí về mối liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương. Cho ví dụ.
Phương pháp giải:
Nếu \(x ≥ 0\) và \(x^2 = a\) thì \(x\) là căn bậc hai số học của số \(a\) không âm.
Lời giải chi tiết:
Định lí: Nếu \(a \ge 0\) và \(b \ge 0\) thì \(\sqrt {ab} = \sqrt a .\sqrt b \)
Chứng minh: Vì \(a \ge 0,b \ge 0 \Rightarrow ab \ge 0,\) do đó \(\sqrt a ,\sqrt b ,\sqrt {ab} \) đều xác định
Ta có: \({\left( {\sqrt a .\sqrt b } \right)^2} = {\left( {\sqrt a } \right)^2}.{\left( {\sqrt b } \right)^2} = a.b\)
Do \(\sqrt a \ge 0,\sqrt b \ge 0 \Rightarrow \sqrt a .\sqrt b \ge 0\)
Vậy \(\sqrt a .\sqrt b \) là căn bậc hai số học của tích \(ab\)
Hay \(\sqrt a .\sqrt b = \sqrt {ab} \)
Ví dụ: \(\sqrt {49.36} = \sqrt {49} .\sqrt {36} \)\( = 7.6 = 42\)
Câu 5
Phát biểu và chứng minh định lí về mối liên hệ giữa phép chia và phép khai phương. Cho ví dụ.
Phương pháp giải:
Nếu \(x ≥ 0\) và \(x^2 = a\) thì \(x\) là căn bậc hai số học của số \(a\) không âm.
Lời giải chi tiết:
Định lý: Nếu \(a \ge 0,b > 0\) thì \(\sqrt {\dfrac{a}{b}} = \dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt b }}\)
Chứng minh:
Do \(a \ge 0,b > 0\) nên \(\dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt b }}\) xác định
Ta có: \({\left( {\dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt b }}} \right)^2} = \dfrac{{{{\left( {\sqrt a } \right)}^2}}}{{{{\left( {\sqrt b } \right)}^2}}} = \dfrac{a}{b}\left( 1 \right)\)
Mặt khác \(\sqrt a \ge 0,\sqrt b > 0 \Rightarrow \dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt b }} \ge 0\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt b }}\) là căn bậc hai số học của \(\dfrac{a}{b} \)
Hay \(\sqrt {\dfrac{a}{b}} = \dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt b }}\)
Ví dụ: \(\sqrt {\dfrac{{16}}{{81}}} = \dfrac{{\sqrt {16} }}{{\sqrt {81} }} = \dfrac{4}{9}\); \(\dfrac{{\sqrt {32} }}{{\sqrt 2 }} = \sqrt {\dfrac{{32}}{2}} = \sqrt {16} = 4\)
soanvan.me