Đề bài
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(-3 ; -1), B(3 ; 5), C(3 ; -4). Gọi G, H, I lần lượt là trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
a) Lập phương trình các đường thẳng AB, BC, AC
b) Tìm toạ độ các điểm G, H, I
c) Tính diện tích tam giác ABC
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Tìm các VTPT của các đường thẳng AB, BC, AC rồi viết PTTQ
b) Tham số hóa tọa độ các điểm G, H, I (nếu cần)
Bước 1: Tìm tọa độ trọng tâm G theo công thức \(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\end{array} \right.\)
Bước 2: Giải hệ PT: \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0\\\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC} = 0\end{array} \right.\) để tìm tọa độ trực tâm H
Bước 3: Giải hệ PT: \(\left\{ \begin{array}{l}IA = IB\\IA = IC\end{array} \right.\) để tìm tọa độ tâm I
Bước 4: Tính khoảng cách từ A đến BC là chiều cao của ∆ABC
Bước 5: Tính độ dài BC rồi tính diện tích ∆ABC
Lời giải chi tiết
a) Ta có: \(\overrightarrow {AB} = (6;6),\overrightarrow {BC} = (0; - 9),\overrightarrow {AC} = (6; - 3)\)
+ Chọn \(\overrightarrow {{n_1}} = (1; - 1)\) thỏa mãn \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {AB} = 0\). Khi đó AB đi qua A(-3 ; -1) và nhận \(\overrightarrow {{n_1}} = (1; - 1)\) nên có PT:
x - y + 2 = 0
+ Chọn \(\overrightarrow {{n_2}} = (1;0)\) thỏa mãn \(\overrightarrow {{n_2}} .\overrightarrow {BC} = 0\). Khi đó BC đi qua B(3 ; 5) và nhận \(\overrightarrow {{n_2}} = (1;0)\) nên có PT: x – 3 = 0
+ Chọn \(\overrightarrow {{n_3}} = (1;2)\) thỏa mãn \(\overrightarrow {{n_3}} .\overrightarrow {AC} = 0\). Khi đó AC đi qua C(3 ; -4) và nhận \(\overrightarrow {{n_3}} = (1;2)\) nên có PT:
x + 2y + 5 = 0
b) Ta có:
+ G là trọng tâm ∆ABC nên \( \Rightarrow G(1;0)\)
+ Gọi \(H({x_H};{y_H})\) là trực tâm ∆ABC . Ta có: \(\overrightarrow {AH} = ({x_H} + 3;{y_H} + 1),\overrightarrow {BH} = ({x_H} - 3;{y_H} - 5)\)
Khi đó\(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot BC\\BH \bot AC\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0\\\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC} = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 9({y_H} + 1) = 0\\6({x_H} - 3) - 3({y_H} - 5)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{y_H} + 1 = 0\\2{x_H} - {y_H} - 1 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_H} = 0\\{y_H} = - 1\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow H(0; - 1)\)
+ Gọi \(I({x_I};{y_I})\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Ta có: \(\overrightarrow {IA} = {( - 3 - {x_I}; - 1 - {y_I})^2} \Rightarrow IA = \sqrt {{{({x_I} + 3)}^2} + {{({y_I} + 1)}^2}} \Rightarrow I{A^2} = {({x_I} + 3)^2} + {({y_I} + 1)^2}\)
\(\overrightarrow {IB} = {(3 - {x_I};5 - {y_I})^2} \Rightarrow IB = \sqrt {{{({x_I} - 3)}^2} + {{({y_I} - 5)}^2}} \Rightarrow I{B^2} = {({x_I} - 3)^2} + {({y_I} - 5)^2}\)
\(\overrightarrow {IC} = {(3 - {x_I}; - 4 - {y_I})^2} \Rightarrow IC = \sqrt {{{({x_I} - 3)}^2} + {{({y_I} + 4)}^2}} \Rightarrow I{C^2} = {({x_I} - 3)^2} + {({y_I} + 4)^2}\)
Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}IA = IB\\IA = IC\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}I{A^2} = I{B^2}\\I{A^2} = I{C^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{({x_I} + 3)^2} + {({y_I} + 1)^2} = {({x_I} - 3)^2} + {({y_I} - 5)^2}\\{({x_I} + 3)^2} + {({y_I} + 1)^2} = {({x_I} - 3)^2} + {({y_I} + 4)^2}\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}12{x_I} + 12{y_I} = 24\\12{x_I} - 6{y_I} = 15\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_I} + {y_I} = 2\\4{x_I} - 2{y_I} = 5\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{3}{2}\\{y_I} = \frac{1}{2}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow I\left( {\frac{3}{2};\frac{1}{2}} \right)\)
Vậy \(G(1;0),H(0; - 1),I\left( {\frac{3}{2};\frac{1}{2}} \right)\)
c) Ta có: \(d(A,BC) = \frac{{\left| { - 3 - 3} \right|}}{1} = 6\)
\(\overrightarrow {BC} = (0; - 9) \Rightarrow BC = 9\)
Diện tích tam giác ABC là: \(S = \frac{1}{2}AD.BC = \frac{1}{2}.6.9 = 27\)