Đề bài

Chứng minh rằng các phép tịnh tiến, đối xứng trục, đối xứng tâm là những phép dời hình.

Lời giải chi tiết

* Phép tịnh tiến

 

Giả sử \({T_{\overrightarrow v }}\) là phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow v \)

\(\eqalign{
& {T_{\overrightarrow v }}:\,M \to M' \cr 
& \,\,\,\,\,\,\,\,N \to N' \cr} \)

Ta có \(\overrightarrow {MM'}  = \overrightarrow {NN'}  = \overrightarrow v\) nên MM'N'N là hình bình hành

\(  \Rightarrow \overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {M'N'}  \Rightarrow MN = M'N'\)
Vậy phép tịnh tiến là một phép dời hình.
* Phép đối xứng trục

Giả sử \({\tilde N_d}\) là phép đối xứng qua đường thẳng \(d\)
Giả sử

\({{\tilde N}_d}:M \to M'\)

\(N \to N'\)

Gọi \(H\) và \(K\) lần lượt là trung điểm của \(MM’\) và \(NN’\).
Ta có:

\(\eqalign{
& \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {M'N'}\cr & = \left( {\overrightarrow {MH} + \overrightarrow {HK} + \overrightarrow {KN} } \right) \cr & + \left( {\overrightarrow {M'H} + \overrightarrow {HK} + \overrightarrow {KN'} } \right) \cr & = \left( {\overrightarrow {MH}  + \overrightarrow {M'H} } \right) + \left( {\overrightarrow {KN}  + \overrightarrow {KN'} } \right) \cr & + \left( {\overrightarrow {HK}  + \overrightarrow {HK} } \right) \cr &  = \overrightarrow 0  + \overrightarrow 0  + 2\overrightarrow {HK} \cr &= 2\overrightarrow {HK} \cr 
& \overrightarrow {MN} - \overrightarrow {M'N'}\cr & = (\overrightarrow {HN} - \overrightarrow {HM} )- ( \overrightarrow {HN'} - \overrightarrow {HM'} )\cr & = \left( {\overrightarrow {HN}  - \overrightarrow {HN'} } \right) + \left( {\overrightarrow {HM'}  - \overrightarrow {HM} } \right)\cr &= \overrightarrow {N'N} + \overrightarrow {MM'} \cr} \)

Vì \(\overrightarrow {MM'}  \bot \overrightarrow {HK} \) và \(\overrightarrow {N'N}  \bot  \overrightarrow {HK} \) nên

\(\eqalign{
& {\overrightarrow {MN} ^2} - {\overrightarrow {M'N'} ^2} \cr &= \left( {\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {M'N'} } \right)\left( {\overrightarrow {MN} - \overrightarrow {M'N'} } \right) \cr &= 2\overrightarrow {HK} \left( {\overrightarrow {N'N} + \overrightarrow {MM'} } \right) \cr &= 2\overrightarrow {HK} .\overrightarrow {N'N}  + 2\overrightarrow {HK} .\overrightarrow {MM'}  \cr &= 2.0 + 2.0 = 0 \cr 
& \Rightarrow M{N^2} = M'N{'^2} \Rightarrow MN = M'N' \cr} \)

Vậy phép đối xứng qua \(d\) là phép dời hình.

Cách khác:

Giả sử phép đối xứng qua đường thẳng d biến M thành M’, N thành N’

Gọi (P) là mặt phẳng chứa NM’ và (P) // MM’

\({M_1},{M_1}'\) lần lượt là hình chiếu của M, M’ trên (P); O = ∩(P).

Ta có d ⊥ (P) nên O đồng thời là trung điểm của \({M_1}{M_1}'\) và NN'.

Vậy phép đối xứng tâm O biến \(M_1\) thành \(M_1'\), N thành N’ nên \({M_1},{M_1}'\) nên \(M_1 N=M_1'N'\).

Mặt khác \(M_1 N,M_1'N'\) lần lượt là hình chiếu của MN, M’N’ trên (P), MM’ // (P) nên MN = M’N’.

Vậy phép đối xứng qua đường thẳng là phép dời hình.

* Phép đối xứng tâm
Nếu phép đối xứng qua tâm \(O\) biến hai điểm \(M, N\) lần lượt thành hai điểm \(M’, N’\) thì \(\overrightarrow {OM'}  =  - \overrightarrow {OM} ;\overrightarrow {ON'}  =  - \overrightarrow {ON} \)
suy ra \(\overrightarrow {M'N'}  = \overrightarrow {ON'}  - \overrightarrow {OM'}  \) \(  =  - \overrightarrow {ON}  + \overrightarrow {OM} = \overrightarrow {NM}  \) \(\Rightarrow M'N' = MN\)
Vậy phép đối xứng tâm \(O\) là một phép dời hình.

soanvan.me