Đề bài
Giả sử đồ thị (G) của hàm số \(y = {{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^x}} \over {\ln 2}}\) cắt trục tung tại điểm A và tiếp tuyến của (G) tại A cắt trục hoành tại điểm B. Tính giá trị gần đúng của diện tích của tam giác OAB (chính xác đến hàng phần nghìn).
Lời giải chi tiết
Cho \(x = 0 \Rightarrow y = {1 \over {\ln 2}}\)
Tọa độ điểm \(A\left( {0;{1 \over {\ln 2}}} \right)\).
Vậy \(OA = {1 \over {\ln 2}}\)
Ta có \(y' = {{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^x}.\ln \sqrt 2 } \over {\ln 2}} = {1 \over 2}{\left( {\sqrt 2 } \right)^x} \)
\(\Rightarrow y'\left( 0 \right) = {1 \over 2}\)
Phương trình tiếp tuyến tại A là: \(y - {1 \over {\ln 2}} = {1 \over 2}(x-0)\)
\(\Rightarrow y = {1 \over 2}x + {1 \over {\ln 2}}\)
Giao điểm B của tiếp tuyến với trục hoành:
Cho \(y=0\) ta được:
\(\frac{1}{2}x + \frac{1}{{\ln 2}} = 0 \Leftrightarrow x = - \frac{2}{{\ln 2}} \) \(\Rightarrow B\left( { - {2 \over {\ln 2}};0} \right)\) suy ra \(OB = {2 \over {\ln 2}}\)
Vậy \({S_{OAB}} = {1 \over 2}OA.OB \) \(= {1 \over 2}.{1 \over {\ln 2}}.{2 \over {\ln 2}} = {1 \over {{{\ln }^2}2}} \approx 2,081\)
Cách khác:
Cho \(x = 0 \Rightarrow y = {1 \over {\ln 2}}\)
Tọa độ điểm \(A\left( {0;{1 \over {\ln 2}}} \right)\).
Vậy \(OA = {1 \over {\ln 2}}\)
Ta có \(y' = {{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^x}.\ln \sqrt 2 } \over {\ln 2}} = {1 \over 2}{\left( {\sqrt 2 } \right)^x} \)
Suy ra hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị (G) tại A là:
\(y'\left( 0 \right) = \tan \widehat {OBA} = \frac{1}{2}\)
Trong tam giác OAB, ta có:
\(\frac{{OA}}{{OB}} = \tan \widehat {OBA} = \frac{1}{2}\) \( \Rightarrow OB = 2OA = \frac{2}{{\ln 2}}\)
Do đó diện tích tam giác OAB là
\({S_{OAB}} = \frac{1}{2}OA.OB = \frac{1}{2}.\frac{1}{{\ln 2}}.\frac{2}{{\ln 2}}\) \(= \frac{1}{{{{\ln }^2}2}} \approx 2,081\)
soanvan.me