Bài IV.4
Thể tích và diện tích của hình cầu thay đổi thế nào nếu bán kính hình cầu:
a) Tăng gấp \(2\) lần?
b) Tăng gấp \(3\) lần?
c) Giảm đi \(2\) lần?
Phương pháp giải:
Sử dụng:
- Diện tích mặt cầu bán kính \(r\) là: \(S = 4\pi {r^2}\).
- Thể tích hình cầu bán kính \(r\) là: \(\displaystyle V ={4 \over 3}\pi {r^3}\).
Lời giải chi tiết:
Hình cầu có bán kính \(R\) có thể tích là: \(\displaystyle V = {4 \over 3}\pi {R^3}\) và diện tích \(S = 4\pi {R^2}\).
a) Nếu tăng bán kính gấp \(2\) lần thì
Thể tích hình cầu là: \(\displaystyle{V_1} = {4 \over 3}\pi {\left( {2R} \right)^3} = 8.{4 \over 3}\pi {R^3} = 8V\)
Diện tích hình cầu là: \({S_1} = 4\pi {\left( {2R} \right)^2} = 4.4\pi {R^2} = 4S\)
b) Nếu tăng bán kính gấp \(3\) lần thì
Thể tích hình cầu là: \(\displaystyle {V_2} = {4 \over 3}\pi {\left( {3R} \right)^3} = 27.{4 \over 3}\pi {R^3} = 27V\)
Diện tích hình cầu là: \({S_2} = 4\pi {\left( {3R} \right)^2} = 9.4\pi {R^2} = 9S\)
c) Nếu giảm bán kính đi \(2\) lần thì
Thể tích hình cầu là: \(\displaystyle {V_3} = {4 \over 3}\pi {\left( {{R \over 2}} \right)^3} = {1 \over 8}.{4 \over 3}\pi {R^3} = {1 \over 8}V\)
Diện tích hình cầu là: \(\displaystyle {S_3} = 4\pi {\left( {{R \over 2}} \right)^2} = {1 \over 4}.4\pi {R^2} = {1 \over 4}S\).
Bài IV.5
Quan sát hình nón ở hình bs.31 rồi điền số thích hợp và các ô trống trong bảng sau (lấy \(\pi = 3,14)\))
Phương pháp giải:
Sử dụng:
- Diện tích xung quanh của hình nón: \({S_{xq}} = \pi rl\).
- Diện tích toàn phần của hình nón: \({S_{tp}} = \pi rl + \pi {r^2}\).
- Thể tích hình nón: \(\displaystyle V = {1 \over 3}\pi {r^2}h\).
(\(r\) là bán kính đường tròn đáy, \( l\) là đường sinh, \(h\) là chiều cao).
Lời giải chi tiết:
Ta điền được bảng sau:
Giải thích:
* Hình nón có \(h=35;l=37\)
Áp dụng định lí Pytago ta có:
\(r = \sqrt {{l^2} - {h^2}} = \sqrt {{{37}^2} - {{35}^2}} = 12\)
\({S_{xq}} = \pi rl = 3,14.12.37 = 1394,16\)
\({S_{TP}} = {S_{xq}} + \pi {r^2} \)\(\,= 1394,16 + 3,{14.12^2} = 1846,32\)
\(V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h = \dfrac{1}{3}.3,{14.12^2}.35 \)\(\,= 5275,2\)
* Hình nón có \(l=5; S_{TP}=75,36\)
\(\begin{array}{l}
{S_{TP}} = \pi rl + \pi {r^2} = 75,36\\
\Rightarrow 3,14.r.5 + 3,14.{r^2} = 75,36\\
\Rightarrow {r^2} + 5r - 24 = 0\\
\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
r = 3\text{ (nhận)}\\
r = - 8\text{ (loại)}
\end{array} \right.
\end{array}\)
\(h = \sqrt {{l^2} - {r^2}} = \sqrt {{5^2} - {3^2}} = 4\)
\({S_{xq}} = \pi rl = 3,14.3.5 = 47,1\)
\(V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h = \dfrac{1}{3}.3,{14.3^2}.4 = 37,68\)
* Hình nón có \(r=8;h=6\)
\(l = \sqrt {{r^2} + {h^2}} = \sqrt {{8^2} + {6^2}} = 10\)
\({S_{xq}} = \pi rl = 3,14.8.10 = 251,2\)
\({S_{TP}} = \pi rl + \pi {r^2} = 251,2 + 3,{14.8^2}\)\(\, = 452,16\)
\(V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h = \dfrac{1}{3}.3,{14.8^2}.6 = 401,92\)
* Hình nón có \(h=4,5, V=169,56\)
\(V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h \) \(\Rightarrow r = \sqrt {\dfrac{{3V}}{{\pi h}}} = \sqrt {\dfrac{{3.169,56}}{{3,14.4,5}}} = 6\)
\(l = \sqrt {{r^2} + {h^2}} = \sqrt {{6^2} + 4,{5^2}} = 7,5\)
\({S_{xq}} = \pi rl = 3,14.6.7,5 = 141,3\)
\({S_{TP}} = \pi rl + \pi {r^2} = 141,3 + 3,{14.6^2}\)\(\, = 254,34\)
* Hình nón có \(S_{xq}=6735,3;\;S_{TP}=10154,76\)
\(\begin{array}{l}
{S_{xq}} = \pi rl\\
{S_{TP}} = \pi rl + \pi {r^2}\\
{S_{TP}} - {S_{xq}} = \pi {r^2}\\
\Rightarrow \pi {r^2} = 10154,76 - 6735,3 \\\Rightarrow \pi {r^2} = 3419,46\\
\Rightarrow r = \sqrt {\dfrac{{3419,46}}{{3,14}}} = 33
\end{array}\)
\({S_{xq}} = \pi rl \) \(\Rightarrow l = \dfrac{{{S_{xq}}}}{{\pi r}} = \dfrac{{6735,3}}{{3,14.33}} = 65\)
\(h = \sqrt {{l^2} - {r^2}} = \sqrt {{{65}^2} - {{33}^2}} = 56\)
\(V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h = \dfrac{1}{3}.3,{14.33^2}.56 \)\(\,= 63829,92\)
Bài IV.6
Quan sát hình cầu ở hình bs.32 rồi điền số thích hợp vào các ô trống trong bảng sau (lấy \(\pi = 3,14)\))
Phương pháp giải:
Sử dụng:
- Diện tích mặt cầu bán kính \(r\) là: \(S = 4\pi {r^2}\).
- Thể tích hình cầu bán kính \(r\) là: \(\displaystyle V ={4 \over 3}\pi {r^3}\).
Lời giải chi tiết:
Ta điền được bảng sau:
Giải thích:
* Hình cầu có \(R=4\)
\(d=2R=2.4=8\)
Độ dài đường tròn lớn là:
\(C = 2\pi R = 2.3,14.4 = 25,12\)
\(S = 4\pi {R^2} = 4.3,{14.4^2} = 200,96\)
\(V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3} = \dfrac{4}{3}.3,{14.4^3} \approx 267,95\)
* Hình cầu có \(d=12\)
\(\begin{array}{l}
R = \dfrac{d}{2} = \dfrac{{12}}{2} = 6\\
C = 2\pi R = 2.3,14.6 = 37,68\\
S = 4\pi {R^2} = 4.3,{14.6^2} = 452,16\\
V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3} = \dfrac{4}{3}.3,{14.6^3} = 904,32
\end{array}\)
* Hình cầu có \(S=78,5\)
\(S = 4\pi {R^2} \Rightarrow R = \sqrt {\dfrac{S}{{4\pi }}} = \sqrt {\dfrac{{78,5}}{{4.3,14}}} \)\(\, = 2,5\)
\(d = 2R = 2.2,5 = 5\)
\(C = 2\pi R = 2.3,14.2,5 = 15,7\)
\(V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3} = \dfrac{4}{3}.3,14.2,{5^3} \approx 65,42\)
* Hình cầu có \(V=904,32\)
\(V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3} \Rightarrow R = \sqrt[3]{{\dfrac{{3V}}{{4\pi }}}}\)\(\, = \sqrt[3]{{\dfrac{{3.904,32}}{{4.3,14}}}} = 6\)
\(d = 2R = 2.6 = 12\)
\(C = 2\pi R = 2.3,14.6 = 37,68\)
\(S = 4\pi {R^2} = 4.3,{14.6^2} = 452,16\)
* Hình cầu có \(C=15,7\)
\(C = 2\pi R \) \(\Rightarrow R = \dfrac{C}{{2\pi }} = \dfrac{{15,7}}{{2.3,14}} = 2,5\)
\(d = 2R = 2.2,5 = 5\)
\(S = 4\pi {R^2} = 4.3,14.2,{5^2} = 78,5\)
\(V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3} = \dfrac{4}{3}.3,14.2,{5^3} \approx 65,42\)
soanvan.me