Đề bài
Tam giác ABC có BC bằng 15 cm. Trên đường cao AH lấy các điểm K, I sao cho AK = KI = IH. Qua I và K kẻ các đường \(EF // BC, MN // BC.\)
a) Tính độ dài các đoạn thẳng MN và EF.
b) Tính diện tích tứ giác MNFE biết rằng diện tích tam giác ABC là 270 cm2.
Lời giải chi tiết
a) Ta có \(AH = AK + KI + IH\) và \(AK = KI = IH(gt) \)
\(\Rightarrow AH = 3AK \Rightarrow {{AK} \over {AH}} = {1 \over 3}\)
∆ABH có \(MK//BH(gt) \Rightarrow {{AM} \over {AB}} = {{AK} \over {AH}}\) (hệ quả của định lý Thales) \( \Rightarrow {{AM} \over {AB}} = {1 \over 3}\)
∆ABC có \(MN//BC(gt) \Rightarrow {{MN} \over {BC}} = {{AM} \over {AB}}\) (hệ quả của định lý Thales)
\( \Rightarrow {{MN} \over {BC}} = {1 \over 3}\)
\(\Rightarrow {{MN} \over {15}} = {1 \over 3}\)
\(\Rightarrow MN = {{15} \over 3} = 5(cm)\)
∆AEI có MK // EI (gt)
Và K là trung điểm của AI (AK = KI)
=> M là trung điểm của AE
Xét ∆AEF có MN // EF (gt)
\( \Rightarrow {{MN} \over {EF}} = {{AM} \over {AE}}\) (hệ quả của định lý Thales)
Mà \({{AM} \over {AE}} = {1 \over 2}\) (M là trung điểm của AE)
Nên
\(\eqalign{ & {{MN} \over {EF}} = {1 \over 2}\cr& \Rightarrow {5 \over {EF}} = {1 \over 2} \cr&\Rightarrow EF = 10(cm) \cr & b)\;{S_{ABC}} = {1 \over 2}AH.BC\cr& \Rightarrow 270 = {1 \over 2}.AH.15 \cr&\Rightarrow AH = {{270.2} \over {15}} = 36(cm) \cr} \)
Ta có AH = 3AK (câu a) và AK = KI (gt)
Do đó \(AH = 3KI \)
\(\Rightarrow KI = \dfrac{AH}{ 3} = \dfrac{36}{3} = 12(cm)\)
\({S_{MNFE}} = \dfrac{1 }{ 2}KI(MN + EF) \)\(\,= \dfrac{1 }{2}.12(5 + 10) = 90(c{m^2})\)
soanvan.me