Trong mỗi bài tập dưới đây, hãy chọn một phương án trong các phương án cho để được khẳng định đúng.
Bài 60
Giả sử \(\int\limits_1^5 {{{dx} \over {2x - 1}}} = \ln c\). Giá trị của c là
(A) \(9\); (B) \(3\);
(C) \(81\); (D) \(8\).
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}
\int\limits_1^5 {\frac{{dx}}{{2x - 1}}} = \int\limits_1^5 {\frac{{\frac{1}{2}\left( {2x - 1} \right)'dx}}{{2x - 1}}} \\
= \frac{1}{2}\int\limits_1^5 {\frac{{d\left( {2x - 1} \right)}}{{2x - 1}}} = \left. {\frac{1}{2}\ln \left| {2x - 1} \right|} \right|_1^5\\
= \frac{1}{2}\left( {\ln 9 - \ln 1} \right) = \frac{1}{2}\ln {3^2} = \ln 3\\
\Rightarrow \ln c = \ln 3 \Rightarrow c = 3
\end{array}\)
Chọn (B).
Chú ý:
Có thể sử dụng công thức làm nhanh \(\int {\frac{1}{{ax + b}}dx} = \frac{1}{a}\ln \left| {ax + b} \right| + C\)
Bài 61
Giá trị của \(\int\limits_0^2 {2{e^{2x}}dx} \) là
\(\left( A \right)\,{e^4}\); \(\left( B \right)\,{e^4} - 1;\)
\(\left( C \right)\,4{e^4};\) \(\left( D \right)\,3{e^4} - 1;\)
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}
\int\limits_0^2 {2{e^{2x}}dx} = \int\limits_0^2 {{e^{2x}}\left( {2x} \right)'dx} \\
= \int\limits_0^2 {{e^{2x}}d\left( {2x} \right)} = \left. {{e^{2x}}} \right|_0^2\\
= {e^4} - {e^0} = {e^4} - 1
\end{array}\)
Chú ý: Có thể sử dụng công thức làm nhanh \(\int {{e^{ax + b}}dx} = \frac{{{e^{ax + b}}}}{a} + C\)
\(\int\limits_0^2 {2{e^{2x}}dx} =2.{\dfrac{{e^{2x}}}{2}}|_0^2 = {e^4} - 1\)
Chọn (B).
Bài 62
Giá trị của \(\int\limits_{ - 1}^0 {{x^2}{{\left( {x + 1} \right)}^3}dx} \) là:
\(\left( A \right)\, - {7 \over {10}};\) \(\left( B \right)\, - {6 \over {10}};\)
\(\left( C \right)\,{2 \over {15}};\) \(\left( D \right)\,{1 \over {60}}.\)
Lời giải chi tiết:
\(\eqalign{& \int\limits_{ - 1}^0 {{x^2}{{\left( {x + 1} \right)}^3}dx} \cr &= \int\limits_{ - 1}^0 {{x^2}\left( {{x^3} + 3{x^2} + 3x + 1} \right)dx} \cr & = \int\limits_{ - 1}^0 {\left( {{x^5} + 3{x^4} + 3{x^3} + {x^2}} \right)dx} \cr &= \left( {{{{x^6}} \over 6} + {{3{x^5}} \over 5} + {{3{x^4}} \over 4} + {{{x^3}} \over 3}} \right)|_{ - 1}^0 \cr & = 0 - \left( {\frac{1}{6} - \frac{3}{5} + \frac{3}{4} - \frac{1}{3}} \right)= {1 \over {60}} \cr} \)
Chọn (D).
Bài 63
Diện tích hình phẳng nằm trong góc phần tư thứ nhất được giới hạn bởi đường thẳng \(y = 4x\) và đồ thị hàm số \(y = {x^3}\) là:
(A) \(4\); (B) \(5\);
(C) \(3\); (D) \(3,5\).
Phương pháp giải:
- Tìm nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm.
- Sử dụng công thức tính diện tích \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)-g(x)} \right|dx} \)
Lời giải chi tiết:
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị
\(\left\{ \matrix{
{x^3} = 4x \hfill \cr
x \ge 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0 \hfill \cr
x = 2 \hfill \cr} \right.\)
Với \(x \in \left[ {0;2} \right]\) \( \Rightarrow 4x - {x^3} = x\left( {4 - {x^2}} \right) \ge 0\)
\( \Rightarrow \left| {4x - {x^3}} \right| = 4x - {x^3}\)
Diện tích cần tìm là: \(S = \int\limits_0^2 {\left| {4x - {x^3}} \right|dx} \) \(= \int\limits_0^2 {\left( {4x - {x^3}} \right)dx} \) \(= \left( {2x^2 - {{{x^4}} \over 4}} \right)|_0^2 \) \(8-4= 4\)
Chọn (A).
Bài 64
Diện tích hình phẳng nằm trong góc phần tư thứ nhất được giới hạn bới hai đường thẳng \(y = 8x, y = x\) và đồ thị hàm số \(y = {x^3}\) là:
(A) \(12\); (B) \(15,75\);
(C) \(6,75\); (D) \(4\)
Phương pháp giải:
- Tìm nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm.
- Sử dụng công thức tính diện tích \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)-g(x)} \right|dx} \)
Lời giải chi tiết:
\(\eqalign{
& {x^3} = 8x \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0 \hfill \cr
x = 2\sqrt 2 \hfill \cr
x = - 2\sqrt 2 \,\left( \text {loại} \right) \hfill \cr} \right. \cr
& {x^3} = x \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0 \hfill \cr
x = 1 \hfill \cr
x = - 1\,\left( \text {loại} \right) \hfill \cr} \right. \cr} \)
\(\eqalign{
& S =\int\limits_0^{2\sqrt 2 } {\left( {8x - {x^3}} \right)} dx\cr &-\int\limits_0^1 {\left( {x - x^3} \right)} dx \cr
& = \left( {4{x^2} - {{{x^4}} \over 4}} \right)|_0^{2\sqrt 2 } \cr &-\left({1 \over 2}{x^2}-{1 \over 4}{x^4}\right)|_0^1 \cr &= \left( {32 - 16} \right) - \left( {{1 \over 2} - {1 \over 4}} \right) \cr &= 16 - {1 \over 4} = 15,75 \cr} \)
Chọn (B).
Bài 65
Diện tích hình phẳng nằm trong góc phần tư thứ nhất được giới hạn bởi đường thẳng \(y=2x\) và đồ thị hàm số \(y = {x^2}\) là:
\(\left( A \right)\,{4 \over 3};\) \(\left( B \right)\,{3 \over 2};\)
\(\left( C \right)\,{5 \over 3};\) \(\left( D \right)\,{{23} \over {15}}.\)
Phương pháp giải:
- Tìm nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm.
- Sử dụng công thức tính diện tích \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)-g(x)} \right|dx} \)
Lời giải chi tiết:
Phương trình hoành độ giao điểm:
\(2x = {x^2} \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0 \hfill \cr
x = 2 \hfill \cr} \right.\)
Với \(x \in \left[ {0;2} \right]\) thì \(2x - {x^2} \ge 0\) \( \Rightarrow \left| {2x - {x^2}} \right| = 2x - {x^2}\)
\(S = \int\limits_0^2 {\left| {2x - {x^2}} \right|dx}= \int\limits_0^2 {\left( {2x - {x^2}} \right)dx} \) \( = \left( {{x^2} - {{{x^3}} \over 3}} \right)|_0^2 = {4 \over 3}\)
Chọn (A)
Bài 66
Cho hình phẳng A được giới hạn bởi đồ thị hàm hai số \(y = {x^2}\) và \(y = 6 - \left| x \right|\). Thể tích khối tròn xoay tạo được khi quay A xung quanh trục tung:
\(\left( A \right)\,{{32\pi } \over 3};\) \(\left( B \right)\,9\pi ;\)
\(\left( C \right)\,8\pi \,;\) \(\left( D \right)\,{{20\pi } \over 3}.\)
Phương pháp giải:
Dựng hình, sử dụng công thức \(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( y \right)dy} \)
Lời giải chi tiết:
\(y = 6 - \left| x \right| = \left\{ \matrix{
6 - x\,\,\text{ nếu }\,\,x \ge 0 \hfill \cr
6 + x\,\,\,\text{ nếu }\,\,\,x < 0 \hfill \cr} \right.\)
Giao điểm của (P) với đường thẳng \(y=6-x\) ( với \(x \ge 0\)) là:
\(\left\{ \matrix{
{x^2} = 6 - x \hfill \cr
x \ge 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x = 2\,\left( {y = 4} \right)\)
\(\eqalign{
& V = {\int\limits_0^4 {\pi \left( {\sqrt y } \right)} ^2}dy + \int\limits_4^6 {\pi {{\left( {6 - y} \right)}^2}dy} \cr &= \pi \int\limits_0^4 {ydy} + \pi \int\limits_4^6 {{{\left( {y - 6} \right)}^2}dy} \cr
& = \pi {{{y^2}} \over 2}|_0^4 + \pi {1 \over 3}{\left( {y - 6} \right)^3}|_4^6 \cr &= 8\pi + {{8\pi } \over 3} = {{32\pi } \over 3} \cr} \)
Chọn (A)
Bài 67
Cho \(a,b\) là hai số dương. Gọi \(K\) là hình phẳng nằm trong góc phần tư thứ hai được giới hạn bởi parabol \(y = a{x^2}\) và đường thẳng \(y=-bx\). Biết rằng thể tích khối tròn xoay tạo được khi quay \(K\) xung quanh trục hoành là một số không phụ thuộc vào giá trị của \(a\) và \(b\). Khi đó \(a\) và \(b\) thỏa mãn điều kiện sau:
\(\left( A \right)\,{b^4} = 2{a^5}\,;\)
\(\left( B \right)\,{b^3} = 2{a^5}\,;\)
\(\left( C \right)\,{b^5} = 2{a^3}\,;\)
\(\left( D \right)\,{b^4} = 2{a^2}.\)
Lời giải chi tiết:
\(a{x^2} = - bx \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0 \hfill \cr
x = - {b \over a} \hfill \cr} \right.\)
\(V = \pi \int\limits_{ - {b \over a}}^0 {{{\left( { - bx} \right)}^2}} dx - \pi \int\limits_{ - {b \over a}}^0 {{{\left( {a{x^2}} \right)}^2}dx} \)
\(= \pi \int\limits_{ - {b \over a}}^0 {\left( {{b^2}{x^2} - {a^2}{x^4}} \right)} dx \) \(=\pi \left( {{{{b^2}{x^3}} \over 3} - {{{a^2}{x^5}} \over 5}} \right)\mathop |\nolimits_{ - {b \over a}}^0 \)
\(= - \pi \left( {{{ - {b^5}} \over {3{a^3}}} + {{{b^5}} \over {5{a^3}}}} \right) \) \(= {{2\pi {b^5}} \over {15{a^3}}}\)
Vì \({{{b^5}} \over {{a^3}}}\) là hằng số nên ta phải chọn (C).
Khi đó \(V = {{4\pi } \over {15}}.\)
soanvan.me