Đề bài
Cho cấp số nhân \(({u_n})\) với công bội \(q \in \left( {0;1} \right).\) Hãy tính tổng 25 số hạng đầu tiên của cấp số nhân đó, biết rằng \({u_1} + {u_3} = 3\) và \(u_1^2 + u_3^2 = 5\).
Lời giải chi tiết
Ta có
\(\left\{ \matrix{
{u_1} + {u_3} = 3 \hfill \cr
u_1^2 + u_3^2 = 5 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{u_1}\left( {1 + {q^2}} \right) = 3\,\,\,(1) \hfill \cr
u_1^2\left( {1 + {q^4}} \right) = 5 \hfill \cr} \right.\,\,(I)\)
Từ (1) suy ra \(u_1>0\). Do đó:
\((I) \Leftrightarrow\left\{ \matrix{
{u_1}.(1 + {q^2}) = 3 \hfill \cr
2{q^4} - 5{q^2} + 2 = 0 \hfill \cr} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{u_1}.(1 + {q^2}) = 3 \hfill \cr
q = {1 \over {\sqrt 2 }}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {do\,\,q \in \left( {0;1} \right)} \right)\, \hfill \cr} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{u_1} = 2 \hfill \cr
q = {1 \over {\sqrt 2 }} \hfill \cr} \right.\)
Từ đó, kí hiệu S là tổng cần tính, ta được
\(S = 2 \times {{1 - {{\left( {{1 \over {\sqrt 2 }}} \right)}^{25}}} \over {1 - \left( {{1 \over {\sqrt 2 }}} \right)}} = {{8191 + 4095.\sqrt 2 } \over {2048}}\)
soanvan.me