HĐ4
Quan sát khai triển nhị thức của \({(a + b)^n}\) với \(n \in \left\{ {1;2;3;4;5} \right\}\) ở HDD3, hãy dự đoán công thức khai triển trong tường hợp tổng quát.
Lời giải chi tiết:
Quan sát khai triển nhị thức của \({(a + b)^n}\) với \(n \in \left\{ {1;2;3;4;5} \right\}\), ta thấy:
+ Công thức khai triển có n+1 số hạng,
+ Từ trái qua phải:
Hệ số khai triển của các số hạng lần lượt là \(C_n^0,C_n^1,...,C_n^n\).
Số mũ của a giảm dần từ n về 0.
Số mũ của b tăng dần từ 0 đến n.
=> Dự đoán \({(a + b)^n} = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n - 1}}b + ... + C_n^{n - 1}a{b^{n - 1}} + C_n^n{b^n}\)
Luyện tập 2
Khai triển \({(x - 2y)^6}\)
Phương pháp giải:
Áp dụng \({(a + b)^6} = C_6^0{a^6} + C_6^1{a^5}b + C_6^2{a^4}{b^2} + C_6^3{a^3}{b^3} + C_6^4{a^2}{b^4} + C_6^5a{b^5} + C_6^6{b^6}\)
Với \(a = x,b = - 2y\)
Lời giải chi tiết:
Theo công thức nhị thức Newton, ta có:
\(\begin{array}{l}{(x - 2y)^6} = C_6^0{x^6} + C_6^1{x^5}.2y + C_6^2{x^4}{\left( {2y} \right)^2} + C_6^3{x^3}{\left( {2y} \right)^3} + C_6^4{x^2}{\left( {2y} \right)^4} + C_6^5x{\left( {2y} \right)^5} + C_6^6{\left( {2y} \right)^6}\\ = 1.{x^6} + 6.{x^5}.2y + 15.{x^4}.4{y^2} + 20{x^3}.8{y^3} + 15{x^2}16{y^4} + 6x.32{y^5} + 1.64{y^6}\\ = {x^6} + 12{x^5}y + 60{x^4}{y^2} + 160{x^3}{y^3} + 240{x^2}{y^4} + 192x{y^5} + 64{y^6}\end{array}\)
Luyện tập 3
Tìm hệ số của \({x^7}\) trong khai triển thành đa thức của \({(2 - 3x)^{10}}\)
Phương pháp giải:
Số hạng chứa \({x^k}\) trong khai triển của \({(ax + b)^n}\) là \(C_n^{n - k}{(ax)^k}{b^{n - k}}\)
Do đó hệ số của \({x^k}\) trong khai triển của \({(ax + b)^n}\) là \(C_n^{n - k}{a^k}{b^{n - k}}\)
Lời giải chi tiết:
Vì \({(2 - 3x)^{10}} = {( - 3x + 2)^{10}}\) nên
Số hạng chứa \({x^k}\) trong khai triển của \({(2 - 3x)^{10}}\) hay \({( - 3x + 2)^{10}}\)là \(C_{10}^{10 - k}{( - 3x)^k}{2^{10 - k}}\)
Số hạng chứa \({x^7}\) ứng với \(k = 7\), tức là số hạng \(C_{10}^3{( - 3x)^7}{2^3}\) hay \( - 2099520{x^7}\)
Vậy hệ số của \({x^7}\) trong khai triển của \({(2 - 3x)^{10}}\) là \( - 2099520\)
Vận dụng
a) Viết khai triển nhị thức Newton của \({(1 + x)^n}\)
b) Cho \(x = 1\) trong khai triển ở câu a), viết đẳng thức nhận được. Giải thích ý nghĩa của đẳng thức này với lưu ý rằng \(C_n^k(0 \le k \le n)\) chính là số tập con gồm k phần tử của một tập hợp có n phần tử.
c) Tương tự, cho \(x = - 1\) trong khai triển ở câu a), viết đẳng thức nhận được. Giải thích ý nghĩa của đẳng thức này.
Lời giải chi tiết:
a) \({(1 + x)^n} = C_n^0 + C_n^1x + C_n^2{x^2} + ... + C_n^n{x^n}\)
b) Thay \(x = 1\) trong khai triển ở câu a), ta được:
\({2^n} = C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + ... + C_n^n\)
Với \(C_n^k(0 \le k \le n)\) chính là số tập con gồm k phần tử của một tập hợp có n phần tử, thì vế phải là tổng số tập con của tập hợp có n phần tử.
=> Số tập con của tập có n phần tử là: \({2^n}\)
c) Thay \(x = - 1\) trong khai triển ở câu a), ta được:
\(\begin{array}{l}0 = C_n^0 - C_n^1 + C_n^2 + ... + {( - 1)^n}C_n^n{x^n}\\ \Leftrightarrow C_n^0 + C_n^2 + C_n^4 + ... = C_n^1 + C_n^3 + C_n^5 + ...\end{array}\)
Ý nghĩa: Tập hợp có n phần tử có số tập con có chẵn phần tử = số tập con có lẻ phần tử.