Câu hỏi 1 :
Cặp số \(\left( {x;y} \right)\) nào dưới đây là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}3x - 5y = - 8\\4x + 3y = - 1\end{array} \right.\):
- A
\(\left( { - 1;1} \right)\)
- B
\(\left( { - 1; - 1} \right)\)
- C
\(\left( {1; - 1} \right)\)
- D
\(\left( {1;1} \right)\)
Đáp án: A
Phương pháp giải:
Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số
Với phương pháp cộng đại số:
+ Nhân hai vế của phương trình trên với \(4\) và nhân hai vế của phương trình dưới với \(3\) rồi trừ vế với vế của hai phương trình thu được.
+ Giải phương trình mới ta tìm được \(y\), thay vào phương trình còn lại ta tìm được \(x.\)
Lời giải chi tiết:
\(\left\{ \begin{array}{l}3x - 5y = - 8\\4x + 3y = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}12x - 20y = - 32\\12x + 9y = - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}12x - 20y - \left( {12x + 9y} \right) = - 32 - \left( { - 3} \right)\\12x + 9y = - 3\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 29y = - 29\\12x + 9y = - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 1\\12x + 9.1 = - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 1\\12x = - 12\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 1\\x = - 1\end{array} \right.\)
Vậy hệ phương trình có nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( { - 1;1} \right)\)
Câu hỏi 2 :
Cho đoạn thẳng \(AB = 10cm\), \(M\) là trung điểm của \(AB\). Quỹ tích các điểm \(C\) trong mặt phẳng thỏa mãn tam giác \(ABC\) có \(C{A^2} + C{B^2} = 100\) là:
- A
Nửa đường tròn đường kính \(AB\)
- B
Đường tròn tâm \(M\) bán kính \(10cm\)
- C
Đường tròn tâm \(M\) bán kính \(5cm\)
- D
Đường tròn tâm \(M\) đường kính \(5cm\)
Đáp án: C
Phương pháp giải:
Sử dụng: “Quỹ tích các điểm \(M\) nhìn đoạn thẳng \(AB\) cho trước dưới một góc vuông là đường tròn đường kính \(AB\). »
Lời giải chi tiết:
Vì \(C{A^2} + C{B^2} = 100 = A{B^2}\) nên \(\Delta ABC\) là tam giác vuông tại \(C\) hay điểm \(C\) luôn nhìn đoạn \(AB\) một góc \({90^0}\).
Do đó quỹ tích các điểm \(C\) là đường tròn đường kính \(AB = 10cm\) hay đường tròn tâm \(M\) bán kính \(5cm\).
Câu hỏi 3 :
Cho đường thẳng $d:y = x - 1$. Khi đó khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng đã cho là:
- A
$2$
- B
$\sqrt 2 $
- C
$\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}$
- D
\(\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\)
Đáp án: C
Phương pháp giải:
- Tìm giao điểm của đường thẳng với trục hoành, trục tung
- Dựng hình chiếu của tam giác được tạo thành
- Áp dụng hệ thức trong tam giác vuông để tính khoảng cách từ điểm $O$ đến $1$ đường thẳng.
Câu hỏi 4 :
Đường thẳng nào sau đây đi qua điểm \(N\left( {1;1} \right)\)?
- A
\(2x + y - 3 = 0\)
- B
\(y - 3 = 0\)
- C
\(4x + 2y = 0\)
- D
\(5x + 3y - 1 = 0\)
Đáp án: A
Phương pháp giải:
Lần lượt thay tọa độ điểm \(N\) vào các phương trình đường thẳng. Phương trình nào được thỏa mãn thì đường thẳng đó đi qua \(N\).
Lời giải chi tiết:
+) Thay \(x = 1;y = 1\) vào \(2x + y - 3 = 0\) ta được \(2.1 + 1 - 3 = 0\) nên điểm \(N\) thuộc đường thẳng \(2x + y - 3 = 0\)
+) Thay \(x = 1;y = 1\) vào \(y - 3 = 0\) ta được \(1 - 3 = - 2 \ne 0\)
+) Thay \(x = 1;y = 1\) vào \(4x + 2y = 0\) ta được \(4.1 + 2.1 = 6 \ne 0\)
+) Thay \(x = 1;y = 1\) vào \(5x + 3y - 1 = 0\) ta được \(5.1 + 3.1 - 1 = 7 \ne 0\)
Vậy đường thẳng \(d:2x + y - 3 = 0\) đi qua \(N\left( {1;1} \right)\).
Câu hỏi 5 :
Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.\) có các hệ số khác 0 và \(\dfrac{a}{{a'}} = \dfrac{b}{{b'}} \ne \dfrac{c}{{c'}}\). Chọn câu đúng.
- A
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất
- B
Hệ phương trình vô nghiệm
- C
Hệ phương trình vô số nghiệm
- D
Chưa kết luận được về nghiệm của hệ
Đáp án: B
Lời giải chi tiết:
Xét hệ phương trình bậc nhất hai ẩn \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.\) (các hệ số \(a';b';c'\)khác 0)
Hệ phương trình vô nghiệm \( \Leftrightarrow \dfrac{a}{{a'}} = \dfrac{b}{{b'}} \ne \dfrac{c}{{c'}}\)
Câu hỏi 6 :
Hai bạn A và B đi xe máy khởi hành từ $2$ địa điểm cách nhau $210{\rm{ }}km,$ đi ngược chiều nhau và gặp nhau sau $3h.$ Tìm vận tốc của mỗi người biết nếu $A$ tăng vận tốc thêm $5{\rm{ }}km/h$ và B giảm vận tốc $5km/h$ thì vận tốc của $A$ bằng vận tốc của $B.$
- A
$40km/h$ và $30km/h$
- B
$40km/h$ và$45km/h$
- C
$30km/h$ và $40km/h$
- D
$45km/h$ và$30km/h$
Đáp án: C
Phương pháp giải:
Các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình:
Bước 1: Lập hệ phương trình
1) Chọn ẩn và tìm điều kiện của ẩn (thông thường ẩn là đại lượng bài toán yêu cầu tìm)
2) Biểu thị các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết
3) Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
Bước 2: Giải hệ phương trình
Sử dụng các phương pháp thế, cộng đại số, đặt ẩn phụ…
Bước 3: Kết luận
Lời giải chi tiết:
Gọi vận tốc của $A$ và $B$ lần lượt là $x,{\rm{ }}y{\rm{ }}\left( {km/h;{\rm{ }}x,{\rm{ }}y > 0} \right)$
Hai người đi ngược chiều và gặp nhau sau $3h$ nên ta có phương trình : $3x + 3y = 210\,\,(1)$
Nếu A tăng vận tốc thêm $5{\rm{ }}km/h$ và $B$ giảm vận tốc $5km/h$ thì vận tốc của $A$ bằng vận tốc của $B$ nên ta có phương trình: $x + 5 = y - 5\,\,\,\,(2)$
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
$\left\{ \begin{array}{l}3x + 3y = 210\\x + 5 = y - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 70\\x - y = - 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x = 60\\x + y = 70\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 30\\y = 40\end{array} \right.(tmdk)$
Vậy vận tốc của A và B lần lượt là $30km/h$ và $40km/h.$
Câu hỏi 7 :
Cho $2$ đường thẳng $d:y = 2x - 1;d':y = (m - 3)x + 2$. Tìm $m$ để $d$ cắt $d'$ mà hoành độ và tung độ giao điểm cùng dấu.
- A
$\left\{ \begin{array}{l}m < 1\\m \ne - 5\end{array} \right.$
- B
$\left\{ \begin{array}{l}m > - 1\\m \ne 5\end{array} \right.$
- C
$\left\{ \begin{array}{l}m < 5\\m > 1\end{array} \right.$
- D
$m>-1$
Đáp án: B
Phương pháp giải:
- Tìm tọa độ giao điểm 2 đường thẳng cho trước
- Hoành độ và tung độ giao điểm cùng dấu $ \Leftrightarrow xy > 0$.
Lời giải chi tiết:
Ta có $d \cap d' \Leftrightarrow m - 3 \ne 2 \Leftrightarrow m \ne 5$.
Xét phương trình hoành độ của $d'$ và $d''$ :
$\begin{array}{l}2x - 1 = (m - 3)x + 2 \Leftrightarrow (m - 5)x = - 3 \Leftrightarrow x = \dfrac{{ - 3}}{{m - 5}}\\ \Rightarrow y = \dfrac{{ - 6}}{{m - 5}} - 1 = \dfrac{{ - m - 1}}{{m - 5}}\end{array}$
Theo đề bài: $x.y > 0 \Leftrightarrow \dfrac{{ - 3}}{{m - 5}}.\dfrac{{ - m - 1}}{{m - 5}} > 0 \Leftrightarrow \dfrac{{3(m + 1)}}{{{{(m - 5)}^2}}} > 0$
Mà ${(m - 5)^2} > 0,\forall m \ne 5$
Suy ra $m > - 1$
Kết hợp điều kiện ta có: $\left\{ \begin{array}{l}m > - 1\\m \ne 5\end{array} \right.$.
Câu hỏi 8 :
Thu gọn biểu thức \(\sqrt[3]{{{x^3} - 3{x^2} + 3x - 1}} - \sqrt[3]{{125{x^3} + 75{x^2} + 15x + 1}}\) ta được:
- A
\( - 4x-2\)
- B
\( - 6x\)
- C
\(-4x\)
- D
\(4x+2\)
Đáp án: A
Phương pháp giải:
- Đưa biểu thức dưới dấu căn về hằng đẳng thức \({\left( {a + b} \right)^3} = {a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3}\)
- Áp dụng \(\sqrt[3]{{{a^3}}} = a\)
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(\sqrt[3]{{{x^3} - 3{x^2} + 3x - 1}} - \sqrt[3]{{125{x^3} + 75{x^2} + 15x + 1}}\)\( = \sqrt[3]{{{{\left( {x - 1} \right)}^3}}} - \sqrt[3]{{{{\left( {5x + 1} \right)}^3}}}\)
\( = x - 1 - 5x - 1 = - 4x-2.\)
Câu hỏi 9 :
Chọn câu sai.
- A
Thể tích hình nón có chiều cao \(h\) và bán kính đáy \(R\) là \(V = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}h\)
- B
Thể tích khối cầu có bán kính \(R\) là \(V = \pi {R^3}\)
- C
Diện tích hình cầu có bán kính \(R\) là \(S = 4\pi {R^2}\)
- D
Đường sinh của hình nón có chiều cao \(h\) và bán kính đáy \(R\) là \(l = \sqrt {{R^2} + {h^2}} \)
Đáp án: B
Phương pháp giải:
Áp dụng các công thức liên quan đến hình nón và hình cầu
Lời giải chi tiết:
Ta có
+ Thể tích hình nón có chiều cao \(h\) và bán kính đáy \(R\) là \(V = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}h\) nên A đúng
+ Diện tích hình cầu có bán kính \(R\) là \(S = 4\pi {R^2}\) nên C đúng
+ Đường sinh của hình nón có chiều cao \(h\) và bán kính đáy \(R\) là \(l = \sqrt {{R^2} + {h^2}} \) nên D đúng
+ Thể tích khối cầu có bán kính \(R\) là \(V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3}\) nên B sai.
Câu hỏi 10 :
Cho các hình vuông $ABCD$ có cạnh $AB$ cố định. Tìm quỹ tích giao điểm $O$ của hai đường chéo của các hình vuông đó.
- A
Quỹ tích điểm $O$ là $2$ cung chứa góc \({120^0}\) dựng trên $AB$ .
- B
Quỹ tích điểm $O$ là nửa đường tròn đường kính $AB$ , trừ hai điểm $A$ và$B$ .
- C
Quỹ tích điểm $O$ là $2$ cung chứa góc \({60^0}\) dựng trên $AB$ .
- D
Quỹ tích điểm $O$ là $2$ cung chứa góc \({30^0}\) dựng trên $AB$ .
Đáp án: B
Phương pháp giải:
Sử dụng phương pháp cung chứa góc.
Hai điểm $B,C$ cố định. Quỹ tích các điểm $M$ thỏa mãn \(\widehat {BMC} = \alpha \) không đổi là $2$ cung chứa góc \(\alpha \) dựng trên $BC$ .
Câu hỏi 11 :
Số nghiệm của hệ phương trình sau: \(\left\{ \begin{array}{l}\left| x \right| + 4\left| y \right| = 18\\3\left| x \right| + \left| y \right| = 10\end{array} \right.\) là:
- A
2
- B
4
- C
3
- D
1
Đáp án: B
Phương pháp giải:
+ Đặt: \(\left| x \right| = a \ge 0;\,\,\,\left| y \right| = b \ge 0\).
+ Giải hệ phương trình ẩn \(a;b\) bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số.
+ Thay trở lại cách đặt ta tìm được \(x;y.\)
Lời giải chi tiết:
Đặt: \(\left| x \right| = a \ge 0;\,\,\left| y \right| = b \ge 0\).
Khi đó, ta có hệ phương trình: \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + 4b = 18\\3a + b = 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 18 - 4b\\3\left( {18 - 4b} \right) + b = 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 18 - 4b\\b = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 4\end{array} \right.\,\,\left( {tm} \right)\).
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| x \right| = 2\\\left| y \right| = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \pm 2\\y = \pm 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 4\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = - 2\\y = 4\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = - 4\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = - 2\\y = - 4\end{array} \right.\end{array} \right.\)
Câu hỏi 12 :
Cho \(A = 3\sqrt[3]{2}\) và \(B = \sqrt[3]{{42}}\). Chọn khẳng định đúng.
- A
\(A < B\)
- B
\(A > B\)
- C
\(A \ge B\)
- D
\(A + B = 0\)
Đáp án: B
Phương pháp giải:
- Sử dụng công thức \(\sqrt[3]{a}.\sqrt[3]{b} = \sqrt[3]{{ab}}\).
- So sánh hai căn bậc hai theo \(a < b \Leftrightarrow \sqrt[3]{a} < \sqrt[3]{b}\).
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(A = 3\sqrt[3]{2} = \sqrt[3]{{27}}.\sqrt[3]{2} = \sqrt[3]{{54}}\).
Vì \(54 > 42 \Leftrightarrow \sqrt[3]{{54}} > \sqrt[3]{{42}} \Rightarrow 3\sqrt[3]{2} > \sqrt[3]{{42}}\) hay \(A > B\).
Câu hỏi 13 :
Cho tứ giác \(ABCD\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right).\) Biết \(\widehat {BOD} = {130^0}\) thì số đo \(\widehat {BAD}\) là:
- A
\({50^0}\)
- B
\({130^0}\)
- C
\({15^0}\)
- D
\({65^0}\)
Đáp án: D
Phương pháp giải:
Sử dụng góc nội tiếp bằng một nửa số đo của cung bị chắn, số đo góc ở tâm bằng số đo cung bị chắn.
Câu hỏi 14 :
Trên một cánh đồng cấy $50$ ha lúa giống mới và $30$ ha lúa giống cũ, thu hoạch được tất cả $410$ tấn thóc. Hỏi năng suất lúa cũ trên $1$ ha là bao nhiêu, biết rằng $5$ ha trồng lúa mới thu hoạch được nhiều hơn $6$ ha trồng lúa cũ là $0,5$ tấn.
- A
$5,5$ tấn
- B
$4$ tấn
- C
$4,5$ tấn
- D
$3$ tấn
Đáp án: C
Lời giải chi tiết:
Gọi năng suất lúa mới và lúa cũ trên $1$ ha lần lượt là $x;y\,\,\left( {x,y > 0} \right),$ đơn vị: tấn/ha
Vì cấy $50$ ha lúa giống mới và $30$ ha lúa giống cũ, thu hoạch được tất cả $410$ tấn thóc nên ta có
$50x + 30y = 410$
Vì $5$ ha trồng lúa mới thu hoạch được nhiều hơn $6$ ha trồng lúa cũ là $0,5$ tấn nên ta có phương trình
$5x - 6y = 0,5$
Suy ra hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}5x - 6y = 0,5\\50x + 30y = 410\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5x - 6y = 0,5\\5x + 3y = 41\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}9y = 40,5\\5x + 3y = 41\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 4,5\\x = 5,5\end{array}(tm) \right.$
Vậy năng suất lúa cũ trên $1$ ha là $4,5$ tấn.
Câu hỏi 15 :
Phương trình \(\sqrt {x - 5} = \sqrt {3 - x} {\rm{ }}\) có bao nhiêu nghiệm?
- A
\(1\)
- B
\(0\)
- C
\(2\)
- D
\(3\)
Đáp án: B
Phương pháp giải:
Giải phương trình dạng \(\sqrt A = \sqrt B \)
ĐK: \(A \ge 0\) (hoặc \(B \ge 0\) )
Khi đó \(\sqrt A = \sqrt B \Leftrightarrow A = B\)
So sánh với điều kiện rồi kết luận.
Lời giải chi tiết:
Điều kiện: \(x \ge 5\)
Ta có \(\sqrt {x - 5} = \sqrt {3 - x} {\rm{ }}\)\( \Leftrightarrow x - 5 = 3 - x \Leftrightarrow x + x = 3 + 5 \Leftrightarrow 2x = 8 \Leftrightarrow x = 4\,\,\left( {KTM} \right)\)
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Câu hỏi 16 :
Tìm hệ số góc của đường thẳng \(d:y = \left( {2m + 5} \right)x + 1\) biết nó vuông góc với đường thẳng \(d':y - 2x = 0\).
- A
\( - 2\)
- B
\( - \dfrac{1}{2}\)
- C
\(\dfrac{1}{2}\)
- D
\(2\)
Đáp án: B
Phương pháp giải:
+ Sử dụng điều kiện vuông góc của hai đường thẳng để tìm \(m\).
+ Sau đó sử dụng lý thuyết về hệ số góc để tìm hệ số góc của đường thẳng \(d'\)
Đường thẳng có phương trình \(y = ax + b\,\left( {a \ne 0} \right)\) có \(a\) là hệ số góc.
Lời giải chi tiết:
Ta có \(d':y - 2x = 0\)\( \Leftrightarrow y = 2x\)
Đường thẳng \(d:y = \left( {2m + 5} \right)x + 1\) có hệ số góc \(2m + 5\)
Vì \(d \bot d' \Rightarrow \left( {2m + 5} \right).2 = - 1 \Leftrightarrow 2m + 5 = - \dfrac{1}{2}\)
Suy ra đường thẳng \(d:y = \left( {2m + 5} \right)x + 1\) có hệ số góc \(k = - \dfrac{1}{2}\)
Câu hỏi 17 :
Cho \(\tan a = 3.\) Khi đó \(\cot a\) bằng
- A
\(\dfrac{1}{3}\)
- B
\(3\)
- C
\(\sqrt 3 \)
- D
\(\dfrac{1}{2}\)
Đáp án: A
Phương pháp giải:
Sử dụng \(\tan a.\cot a = 1\) để tìm \(\cot a.\)
Lời giải chi tiết:
Ta có \(\tan a.\cot a = 1\) nên \(\cot a = \dfrac{1}{{\tan a}} = \dfrac{1}{3}.\)
Câu hỏi 18 :
Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}5x\sqrt 3 + y = 2\sqrt 2 \\x\sqrt 6 - y\sqrt 2 = 2\end{array} \right.\). Biết nghiệm của hệ phương trình là $\left( {x;y} \right)$, tính $6x + 3\sqrt 3 y$
- A
$\dfrac{{\sqrt 6 }}{2}$
- B
$\dfrac{{5\sqrt 6 }}{2}$
- C
$ - \dfrac{{\sqrt 6 }}{2}$
- D
$\sqrt 6 $
Đáp án: C
Phương pháp giải:
Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số
Lời giải chi tiết:
Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với \(\sqrt 2 \) rồi cộng từng vế của hai phương trình
\(\left\{ \begin{array}{l}5x\sqrt 3 + y = 2\sqrt 2 \\x\sqrt 6 - y\sqrt 2 = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5x\sqrt 6 + y\sqrt 2 = 4\\x\sqrt 6 - y\sqrt 2 = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6x\sqrt 6 = 6\\x\sqrt 6 - y\sqrt 2 = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{{\sqrt 6 }}\\\dfrac{1}{{\sqrt 6 }}.\sqrt 6 - y\sqrt 2 = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{{\sqrt 6 }}\\1 - y\sqrt 2 = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{{\sqrt 6 }}\\y\sqrt 2 = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{\sqrt 6 }}{6}\\y = - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\end{array} \right.\)
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( {\dfrac{{\sqrt 6 }}{6}; - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)\)
$ \Rightarrow 6x + 3\sqrt 3 y = 6.\dfrac{{\sqrt 6 }}{6} + 3\sqrt 3 .\left( { - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) = \sqrt 6 - \dfrac{3}{2}\sqrt 6 = - \dfrac{{\sqrt 6 }}{2}.$
Câu hỏi 19 :
Kết quả của phép tính \(\left( {\sqrt {28} - 2\sqrt 3 + \sqrt 7 } \right)\sqrt 7 + \sqrt {84} \) là
- A
\(7\)
- B
\(7 + 2\sqrt {21} \)
- C
\(7 + \sqrt {21} \)
- D
\(21\)
Đáp án: D
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức
+ Khai phương một tích: \(\sqrt {A.B} = \sqrt A .\sqrt B {\rm{ }}\,(A \ge 0,B \ge 0)\)
Lời giải chi tiết:
Ta có \(\left( {\sqrt {28} - 2\sqrt 3 + \sqrt 7 } \right)\sqrt 7 + \sqrt {84} \)\( = \left( {\sqrt {4.7} - 2\sqrt 3 + \sqrt 7 } \right).\sqrt 7 + \sqrt {4.21} \)
\( = \left( {2\sqrt 7 - 2\sqrt 3 + \sqrt 7 } \right).\sqrt 7 + 2\sqrt {21} = \left( {3\sqrt 7 - 2\sqrt 3 } \right).\sqrt 7 + 2\sqrt {21} \)
\( = 3\sqrt 7 .\sqrt 7 - 2\sqrt 3 .\sqrt 7 + 2\sqrt {21} \) \( = 21 - 2\sqrt {21} + 2\sqrt {21} = 21\)
Câu hỏi 20 :
Cho parabol\((P):y = 5{x^2}\) và đường thẳng \((d):y = - 4x - 4\). Số giao điểm của đường thẳng \(d\) và parabol \(\left( P \right)\) là:
- A
\(1\)
- B
\(0\)
- C
\(3\)
- D
\(2\)
Đáp án: B
Phương pháp giải:
Cho parabol \((P):y = {\rm{a}}{{\rm{x}}^2}(a \ne 0)\) và đường thẳng \(d:y = mx + n\). Để tìm tọa độ giao điểm (nếu có) của \((d)\) và \((P)\), ta làm như sau:
Bước 1. Xét phương trình hoành độ giao điểm của \((d)\) và \((P)\) :\({\rm{a}}{{\rm{x}}^2} = mx + n\)
Bước 2. Giải phương trình (*) ta tìm được nghiệm (nếu có). Từ đó suy ra số giao điểm của parabol và đường thẳng
Lời giải chi tiết:
Xét phương trình hoành độ giao điểm của parabol \(\left( P \right)\) và đường thẳng \((d):\)
\(5{x^2} = - 4x - 4 \Leftrightarrow 5{x^2} + 4x + 4 = 0 \\\Leftrightarrow {x^2} + 4{x^2} + 4x + 4 = 0 \\\Leftrightarrow {x^2} + {\left( {x + 2} \right)^2} = 0\,\,\left( * \right)\)
Xét \({x^2} + {\left( {x + 2} \right)^2} \ge 0;\forall x\) và dấu “=” xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\x + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 2\end{array} \right.\) (vô lý) nên \({x^2} + {\left( {x + 2} \right)^2} > 0;\forall x\)
Hay phương trình (*) vô nghiệm.
Vậy không có giao điểm của đường thẳng \((d)\) và parabol \(\left( P \right)\).
Câu hỏi 21 :
Tính giá trị của \(x\) trên hình vẽ
- A
\(2\sqrt 6 \)
- B
\(\sqrt 6 \)
- C
\(3\sqrt 6 \)
- D
\(27\)
Đáp án: C
Phương pháp giải:
Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông: “ Bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông lên cạnh huyền”
Lời giải chi tiết:
Xét tam giác \(MNP\) vuông tại \(M,\) có \(MK \bot NP\) ta có \(M{K^2} = NK.PK\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
Hay \({x^2} = 6.9 \Leftrightarrow {x^2} = 54 \Rightarrow x = 3\sqrt 6 \,.\)
Câu hỏi 22 :
Cho \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) có \(\widehat {BAC} = {130^0}.\) Trên nửa mặt phẳng bờ \(BC\) không chứa đỉnh \(A\), kẻ \(Bx \bot BA;Cy \bot CA\), \(Bx\) và \(Cy\) cắt nhau tại D. Chọn đáp án sai.
- A
\(\Delta BCD\) cân
- B
\(ABDC\) nội tiếp
- C
\(ABDC\) là hình thoi
- D
\(\widehat {BDC} = 50^\circ \)
Đáp án: C
Phương pháp giải:
Tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\) là tứ giác nội tiếp.
Câu hỏi 23 :
Cho \(B = \dfrac{2}{{\sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 3 - \sqrt 2 }} - \dfrac{2}{{\sqrt 3 - 1}}\) và \(C = \left( {2\sqrt 3 - 5\sqrt {27} + 4\sqrt {12} } \right):\sqrt 3 \). Chọn đáp án đúng.
- A
\(B > C\)
- B
\(B < C\)
- C
\(B = C\)
- D
\(B = - C\)
Đáp án: A
Phương pháp giải:
+ Tính \(B;C\) bằng cách sử dụng các công thức
Với \(A > 0\) và \(A \ne {B^2}\) thì \(\dfrac{C}{{\sqrt A \pm B}} = \dfrac{{C(\sqrt A \mp B)}}{{A - {B^2}}}\)
Khai phương một tích: \(\sqrt {A.B} = \sqrt A .\sqrt B {\rm{ }}(A \ge 0,B \ge 0)\)
+ So sánh \(B;C.\)
Lời giải chi tiết:
Ta có \(B = \dfrac{2}{{\sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 3 - \sqrt 2 }} - \dfrac{2}{{\sqrt 3 - 1}}\)
\( = \dfrac{{2\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 .\sqrt 2 }} + \dfrac{{\sqrt 3 + \sqrt 2 }}{{\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)\left( {\sqrt 3 + \sqrt 2 } \right)}} - \dfrac{{2\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}}\)
$
= \dfrac{{2\sqrt 2 }}{2} + \dfrac{{\sqrt 3 + \sqrt 2 }}{{3 - 2}} - \dfrac{{2\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}}{{3 - 1}}$
$= \sqrt 2 + \dfrac{{\sqrt 3 + \sqrt 2 }}{1} - \dfrac{{2\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}}{2}$
\( = \sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 2 - \left( {\sqrt 3 + 1} \right)\)
\( = \sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 2 - \sqrt 3 - 1\)
\( = 2\sqrt 2 - 1\)
Lại có
$\begin{array}{l}C = (2\sqrt 3 - 5\sqrt {27} + 4\sqrt {12} ):\sqrt 3 \\ = \left( {2\sqrt 3 - 5\sqrt {9.3} + 4\sqrt {4.3} } \right):\sqrt 3 \\= (2\sqrt 3 - 5.3\sqrt 3 + 4.2\sqrt 3 ):\sqrt 3 \\ = - 5\sqrt 3 :\sqrt 3 \\ = - 5\end{array}$
Nhận thấy \(B = 2\sqrt 2 - 1 > 0;\,C = - 5 < 0 \Rightarrow B > C\)
Câu hỏi 24 :
Phương trình \(\left( {\dfrac{{2 + x}}{{2 - x}} - \dfrac{{2 - x}}{{2 + x}}} \right):\left( {\dfrac{{2 + x}}{{2 - x}} + 1} \right) = \dfrac{2}{3x}\) có nghiệm là:
- A
\(x = - 1;x = \dfrac{2}{3}.\)
- B
\(x = 1;x = - \dfrac{2}{3}.\)
- C
\(x = 3\)
- D
\(x = - 1;x = - \dfrac{2}{3}.\)
Đáp án: B
Phương pháp giải:
Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu số
Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình
Bước 2: Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu thức.
Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được
Bước 4: Trong các giá trị tìm được của ẩn, loại các giá trị không thoả mãn điều kiện xác định, các giá trị thoả mãn điều kiện xác định là nghiệm của phương trình đã cho
Lời giải chi tiết:
Điều kiện: \(x \ne 2;x \ne - 2;x \ne 0\)
Ta có \(\left( {\dfrac{{2 + x}}{{2 - x}} - \dfrac{{2 - x}}{{2 + x}}} \right):\left( {\dfrac{{2 + x}}{{2 - x}} + 1} \right) = \dfrac{2}{{3x}}\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{{{\left( {2 + x} \right)}^2} - {{\left( {2 - x} \right)}^2}}}{{\left( {2 - x} \right)\left( {2 + x} \right)}}:\dfrac{{2 + x + 2 - x}}{{2 - x}} = \dfrac{2}{{3x}}\)
\( \Leftrightarrow \dfrac{{8x}}{{\left( {2 - x} \right)\left( {2 + x} \right)}}.\dfrac{{2 - x}}{4} = \dfrac{2}{{3x}} \Leftrightarrow \dfrac{{2x}}{{2 + x}} = \dfrac{2}{{3x}}\)\( \Rightarrow 6{x^2} - 2x - 4 = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - x - 2 = 0\)
Phương trình này có \(a + b + c = 3 + \left( { - 1} \right) + \left( { - 2} \right) = 0\) nên có hai nghiệm phân biệt \(x = 1;x = \dfrac{{ - 2}}{3}\left( {TM} \right)\)
Vậy phương trình có hai nghiệm \(x = 1;x = - \dfrac{2}{3}.\)
Câu hỏi 25 :
Đồ thị hàm số $y = (3 - m)x + m + 3$ đi qua gốc tọa độ khi:
- A
$m = - 3$
- B
$m = 3$
- C
$m \ne 3$
- D
$m \ne \pm 3$
Đáp án: A
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức: Điểm thuộc đồ thị hàm số.
Điểm $M(x_0;y_0)$ thuộc đồ thị hàm số $y=ax+b$ \( \Leftrightarrow {y_0} = a{x_0} + b\)
Lời giải chi tiết:
Ta có điểm $O\left( {0\;;0} \right)$ thuộc đường thẳng $y = (3 - m)x + m + 3 \Leftrightarrow (3-m).0+m + 3 = 0 $$\Leftrightarrow m+3=0\Leftrightarrow m = - 3$
Câu hỏi 26 :
Tính thể tích của một hình nón cụt có các bán kính đáy bằng \(4 cm\) và \(7cm\), chiều cao bằng \(11 cm.\)
- A
$1023\pi \,\,\left( {c{m^3}} \right)$
- B
$341\pi \,\,\left( {c{m^3}} \right)$
- C
$93\pi \,\,\left( {c{m^3}} \right)$
- D
$314\pi \,\,\left( {c{m^3}} \right)$
Đáp án: B
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức tính thể tích hình nón cụt $V = \dfrac{1}{3}\pi h({R^2} + Rr + {r^2})$ với các bán kính đáy là $R$ và $r,$chiều cao $h.$
Câu hỏi 27 :
Tìm điều kiện của $x$ để căn thức \(\sqrt {\dfrac{1}{{x - 1}}} \) có nghĩa.
- A
$x \ge 1$
- B
\(x < 1\)
- C
\(x > 1\)
- D
\(x = 1\)
Đáp án: C
Phương pháp giải:
\(\sqrt A \) xác định (hay có nghĩa) khi \(A\) lấy giá trị không âm tức là \(A \ge 0.\)
Ngoài ra: \(\dfrac{1}{A} \ge 0 \Leftrightarrow A > 0\)
Lời giải chi tiết:
Ta có \(\sqrt {\dfrac{1}{{x - 1}}} \) có nghĩa \( \Leftrightarrow \dfrac{1}{{x - 1}} \ge 0 \Rightarrow x - 1 > 0\) (vì $1>0$)
\( \Leftrightarrow x > 1\)
Câu hỏi 28 :
Cho hai vòi nước cùng lúc chảy vào một bể cạn. Nếu chảy riêng từng vòi thì vòi thứ nhất chảy đầy bể chậm hơn vòi thứ hai \(2\) giờ. Khi nước đầy bể, người ta khóa vòi thứ nhất và vòi thứ hai lại, đồng thời mở vòi thứ ba cho nước chảy ra thì sau \(7,5\) giờ bể cạn nước. Khi nước trong bể đã cạn mở cả ba vòi thì sau \(20\) giờ bể lại đầy nước. Hỏi nếu chỉ dùng vòi thứ nhất thì sau bao lâu bể đầy nước?
- A
\(9\) giờ
- B
\(12\) giờ
- C
\(10\) giờ
- D
\(8\) giờ
Đáp án: C
Lời giải chi tiết:
Gọi thời gian mà vòi thứ nhất chảy riêng đầy bể là \(x\) (giờ), \(\left( {x > 2} \right)\).
Trong một giờ:
-Vòi thứ nhất chảy được \(\dfrac{1}{x}\) ( bể).
- Vòi thứ hai chảy được \(\dfrac{1}{{x - 2}}\) ( bể).
- Vì vòi thứ ba chảy ra trong 7,5 giờ thì cạn bề nên trong 1h vòi thứ ba chảy được \(\dfrac{2}{{15}}\) ( bể).
Khi mở cả ba vòi thì vòi thứ nhất và vòi thứ hai chảy vào bể còn vòi thứ ba cho nước ở bể chảy ra nên ta có phương trình \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{x - 2}} - \dfrac{2}{{15}} = \dfrac{1}{{20}} \Leftrightarrow \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{x - 2}} = \dfrac{{11}}{{60}}\) \( \Leftrightarrow \dfrac{{x - 2 + x}}{{x\left( {x - 2} \right)}} = \dfrac{{11}}{{60}} \Leftrightarrow \dfrac{{2x - 2}}{{{x^2} - 2x}} = \dfrac{{11}}{{60}}\)
\( \Rightarrow 120x - 120 = 11{x^2} - 22x\) \( \Leftrightarrow 11{x^2} - 142x + 120 = 0\) có \(\Delta ' = 3721 \Rightarrow \sqrt {\Delta '} = 61\) nên phương trình có hai nghiệm \(\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{71 - 61}}{{11}} = \dfrac{{10}}{{11}}\left( {ktm} \right)\\x = \dfrac{{71 + 61}}{{11}} = 12\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)
Vậy chỉ dùng vòi thứ nhất thì sau \(10\) giờ bể đầy nước.
Câu hỏi 29 :
Tập nghiệm của phương trình \(x + 4\sqrt x - 12 = 0\) là:
- A
\(S = \left\{ {36} \right\}\)
- B
\(S = \left\{ {4;\,\,36} \right\}\)
- C
\(S = \left\{ 4 \right\}\)
- D
\(S = \left\{ {2; - 6} \right\}\)
Đáp án: C
Phương pháp giải:
Đặt: \(\sqrt x = t\,\,\left( {t \ge 0} \right)\), khi đó đưa về được phương trình bậc hai: \({t^2} + 4t - 12 = 0\). Giải phương trình bậc hai ẩn \(t\) sau đó quay lại tìm được \(x\).
Lời giải chi tiết:
\(x + 4\sqrt x - 12 = 0\) (1)
ĐKXĐ: \(x \ge 0.\)
Đặt: \(\sqrt x = t\,\,\left( {t \ge 0} \right)\)
\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow {t^2} + 4t - 12 = 0.\)
Có: \(\Delta ' = {2^2} + 12 = 16 > 0 \Rightarrow \) phương trình có hai nghiệm phân biệt: \(\left[ \begin{array}{l}{t_1} = - 2 + \sqrt {16} = 2\,\,\,\left( {tm} \right)\\{t_2} = - 2 - \sqrt {16} = - 6\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right..\)
Với \(t = 2 \Rightarrow \sqrt x = 2 \Leftrightarrow x = 4\,\,\left( {tm} \right).\)
Vậy phương trình có nghiệm \(x = 4.\)
Câu hỏi 30 :
Một hình trụ có bán kính đáy bằng \(5\,cm\) và diện tích xung quanh bằng \(300\pi \,\left( {c{m^2}} \right)\) . Chiều cao của hình trụ là
- A
\(30\,cm\)
- B
$12\,cm$
- C
\(6\,cm\)
- D
\(10\,cm\)
Đáp án: A
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức tính diện tích xung quanh hình trụ có bán kính đáy $R$ và chiều cao \(h\) là \({S_{xq}} = 2\pi {R}h\)
Lời giải chi tiết:
Gọi chiều cao của hình trụ là \(h.\) Ta có \({S_{xq}} = 2\pi R.h \Leftrightarrow 2\pi {.5}.h = 300\pi \Leftrightarrow h = 30\,cm.\)
Câu hỏi 31 :
Cho hình trụ có bán kính đáy \(R\) và chiều cao \(h\) . Nếu ta tăng chiều cao lên hai lần và giảm bán kính đáy đi hai lần thì
- A
Thể tích hình trụ không đổi
- B
Diện tích toàn phần không đổi
- C
Diện tích xung quanh không đổi
- D
Chu vi đáy không đổi
Đáp án: C
Phương pháp giải:
Sử dụng các công thức tính chu vi đáy, diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của hình trụ (phần lý thuyết)
Lời giải chi tiết:
Chiều cao mới của hình trụ là \(h' = 2h\) ; bán kính đáy mới là \(R' = \dfrac{R}{2}\)
Hình trụ mới có :
Chu vi đáy \(2\pi R' = 2\pi \dfrac{R}{2} = \pi R < 2\pi R = C\) nên phương án D sai.
Diện tích toàn phần \(2\pi R'h + 2\pi {R'^2} = 2\pi Rh + \dfrac{{\pi {R^2}}}{2} \ne 2\pi Rh + 2\pi {R^2}\) nên phương án B sai.
Thể tích \(\pi {R'^2}h = \dfrac{{\pi {R^2}h}}{4} \ne \pi {R^2}h\) nên phương án A sai.
Diện tích xung quanh \(2\pi R'h = 2\pi .\dfrac{R}{2}.2h = 2\pi Rh\) nên phương án C đúng.
Câu hỏi 32 :
Một ca nô xuôi dòng trên một khúc sông từ A đến B dài 80 km, sau đó lại ngược dòng đến địa điểm C cách B là 72 km, thời gian xuôi dòng ít hơn thời gian ngược dòng là 15 phút. Tính vận tốc thực của ca nô biết vận tốc dòng nước là 4km/h.
- A
36km/h
- B
30km/h
- C
40km/h
- D
38km/h
Đáp án: A
Phương pháp giải:
Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình:
+) Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn
+) Biểu thị các đại lượng chưa biết qua ẩn và các đại lượng đã biết.
+) Lập phương trình-giải phương trình.
+) Chọn kết quả và trả lời.
Lời giải chi tiết:
Gọi vận tốc thực của ca nô là \(x\left( {x > 0,km/h} \right)\)
Đổi 15 phút = \(\dfrac{{15}}{{60}} = \dfrac{1}{4}\)h
*) Xuôi dòng:
Vận tốc của ca nô là \(x + 4\left( {km/h} \right) \Rightarrow \) Thời gian xuôi dòng của ca nô là \(\dfrac{{80}}{{x + 4}}(h)\)
*) Ngược dòng:
Vận tốc ngược dòng của ca nô là \(x - 4\left( {km/h} \right) \Rightarrow \) Thời gian ngược dòng của ca nô là \(\dfrac{{72}}{{x - 4}}(h)\)
Vì thời gian xuôi dòng ít hơn thời gian ngược dòng là 15 phút nên ta có phương trình:
\(\begin{array}{l}\;\;\;\;\dfrac{{72}}{{x - 4}} - \dfrac{{80}}{{x + 4}} = \dfrac{1}{4}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{288(x + 4) - 320(x - 4)}}{{(x - 4)(x + 4)}} = \dfrac{{{x^2} - 16}}{{(x - 4)(x + 4)}}\\ \Rightarrow - 32x + 2432 = {x^2} - 16\\ \Leftrightarrow {x^2} + 32x - 2448 = 0\\\Delta = {16^2} + 2448 = 2704 \Rightarrow \sqrt \Delta = 52\end{array}\)
Phương trình có hai nghiệm \(x = - 16 + 52 = 36(tmdk)\),\(x = - 16 - 52 = - 68\) (loại)
Vậy vận tốc thực của ca nô là \(36km/h.\)
Câu hỏi 33 :
Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là \(\sqrt 5 - 2\) và \(\sqrt 5 + 2\).
- A
\({x^2} - 2\sqrt 5 \,x + 1 = 0\)
- B
\({x^2} - 3\sqrt 5 \,x + 2 = 0\)
- C
\({x^2} + 2\sqrt 5 \,x + 1 = 0\)
- D
\({x^2} - 3\sqrt 5 \,x - 2 = 0\)
Đáp án: A
Phương pháp giải:
\(\left\{ \begin{array}{l}u + v = S\\u.v = P\end{array} \right. \Rightarrow \) \(u,v\) là nghiệm của phương trình: \({x^2} - Sx + P = 0\). (ĐK: \({S^2} \ge 4P\) )
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\begin{array}{l}S = \sqrt 5 - 2 + \sqrt 5 + 2 = 2\sqrt 5. \\P = (\sqrt 5 - 2)(\sqrt 5 + 2) = 5 - 4 = 1\end{array}\).
Nhận thấy \({S^2} > 4P\,\left( {{\rm{do}}\,{{\left( {2\sqrt 5 } \right)}^2} = 20 > 4} \right)\)
Nên phương trình bậc hai có 2 nghiệm \(\sqrt 5 - 2\) và \(\sqrt 5 + 2\) là: \({x^2} - 2\sqrt 5 \,x + 1 = 0\).
Câu hỏi 34 :
Cho tam giác \(ABC\) nội tiếp đường tròn tâm \(O.\) Gọi $P,\,Q,R$ lần lượt là giao điểm của các tia phân giác trong góc \(A,\,B,\,C\) với đường tròn. Giả sử rằng \(S = AP \cap RQ.\) Khi đó:
- A
\(\widehat {ASQ} = {30^0}\)
- B
\(\widehat {ASQ} = {45^0}\)
- C
\(\widehat {ASQ} = {60^0}\)
- D
\(\widehat {ASQ} = {90^0}\)
Đáp án: D
Phương pháp giải:
- Sử dụng tính chất tia phân giác của một góc nội tiếp chia cung bị chắn thành hai cung bằng nhau.
- Tính chất góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn có số đo bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn.
Câu hỏi 35 :
Tính độ dài cạnh của tam giác đều nội tiếp \(\left( {O;R} \right)\) theo \(R.\)
- A
\(\dfrac{R}{{\sqrt 3 }}\)
- B
\(\sqrt 3 R\)
- C
\(R\sqrt 6 \)
- D
\(3R\)
Đáp án: B
Phương pháp giải:
+ Sử dụng tính chất tam giác đều để tìm bán kính đường tròn
+ Sử dụng định lý Pytago để tìm cạnh của tam giác đều
+ Sử dụng công thức tính diện tích tam giác \(S = \dfrac{{ah}}{2}\) với \(h\) là chiều cao ứng với cạnh đáy là \(a\) .
Câu hỏi 36 :
Cho parabol \(\left( P \right):y = {x^2}\) và đường thẳng \(\left( d \right):y = mx + 1\). Gọi \(A\left( {{x_1};{y_1}} \right)\) và \(B\left( {{x_2};{y_2}} \right)\) là các giao điểm của \(\left( d \right)\) và \(\left( P \right)\). Tìm \(m\) để biểu thức \(M = \left( {{y_1} - 1} \right)\left( {{y_2} - 1} \right)\) đạt giá trị lớn nhất.
- A
\(m = 0\)
- B
\(m = 2\)
- C
\(m = 1\)
- D
\(m = - 1\)
Đáp án: A
Phương pháp giải:
+ Viết phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( d \right)\) và \(\left( P \right)\).
+ Đánh giá \(M = \left( {{y_1} - 1} \right)\left( {{y_2} - 1} \right)\) bằng cách sử dụng hệ thức Vi-et.
Lời giải chi tiết:
Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng và Parabol là: \({x^2} = mx + 1 \Leftrightarrow {x^2} - mx - 1 = 0\) (1)
\(\Delta = {m^2} + 4 > 0\) với mọi \(m\) nên (1) có hai nghiệm phân biệt, suy ra \(\left( d \right)\) luôn cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt \(A\left( {{x_1};{y_1}} \right)\) và \(B\left( {{x_2};{y_2}} \right)\) với \({x_1};{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình (1).
Theo định lý Viet, ta có: \({x_1} + {x_2} = m;{x_1}{x_2} = - 1\)
Vì \(A;B \in \left( P \right) \Rightarrow {y_1} = x_1^2;{y_2} = x_2^2\).
Ta có
$M = \left( {{y_1} - 1} \right)\left( {{y_2} - 1} \right) $$= \left( {x_1^2 - 1} \right)\left( {x_2^2 - 1} \right)$$ = x_1^2x_2^2 - \left( {x_1^2 + x_1^2} \right) + 1$
$ = x_1^2x_2^2 + 2{x_1}{x_2} - {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} + 1$ \( = 1 - 2 - {m^2} + 1 = - {m^2} \le 0\)
Vậy \(\max M = 0\) khi \(m = 0\).
Câu hỏi 37 :
Cho mặt cầu có thể tích \(V = 288\pi \,\left( {c{m^3}} \right)\) . Tính đường kính mặt cầu.
- A
\(6\,cm\)
- B
\(12\,cm\)
- C
\(8\,cm\)
- D
\(16\,cm\)
Đáp án: B
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức thể tích khối cầu $V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3}$ để tính bán kính, từ đó suy ra đường kính của mặt cầu.
Lời giải chi tiết:
Ta có \(V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3} = 288\pi \Rightarrow {R^3} = 216 \Rightarrow R = 6\,cm\)
Từ đó đường kính mặt cầu là \(d = 2R = 2.6 = 12\,cm\).
Câu hỏi 38 :
Cho hình vẽ, tìm \(x.\)
- A
\(x = 0,75\)
- B
\(x = 4,5\)
- C
\(x = 4\sqrt 3 \)
- D
\(x = 4\)
Đáp án: B
Phương pháp giải:
Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông: “ bình phương cạnh góc vuông bằng tích hình chiếu của nó lên cạnh huyền với cạnh huyền”
Câu hỏi 39 :
Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là
- A
Trung điểm cạnh huyền
- B
Trung điểm cạnh góc vuông lớn hơn
- C
Giao ba đường cao
- D
Giao ba đường trung tuyến
Đáp án: A
Lời giải chi tiết:
Trong tam giác vuông trung điểm cạnh huyền là tâm đường tròn ngoại tiếp.
Câu hỏi 40 :
Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $\left( {O;R} \right)$ có $AB = 5cm,AC = 12cm$ và đường cao $AH = 3cm$ ($H$ nằm ngoài $BC$) , khi đó $R$ bằng
- A
$6cm$
- B
$6,5cm$
- C
$5cm$
- D
$7,5cm$
Đáp án: D
Phương pháp giải:
Dựa vào tính chất tứ giác nội tiếp
Định lí pi-ta-go
Dấu hiệu và tính chất hai tam giác đồng dạng