Đề bài

Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi E và F theo thứ tự là các điểm đối xứng của H qua AB và AC.

a) Chứng minh rằng A là trung điểm của đoạn EF. 

b) Chứng minh rằng: BC = BE + CF.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+) Sử dụng định nghĩa: Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng d nếu d là đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm đó. 

+) Sử dụng tính chất đường trung trực: Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.

+) Trong tam giác cân, đường trung tuyến ứng với cạnh đáy cũng là đường trung trực, đường phân giác.

Lời giải chi tiết

a) E đối xứng với H qua AB nên AB là đường trung trực của EH. Suy ra \(AE = AH.\)

F đối xứng với H qua AC nên AC là đường trung trực của FH. Suy ra \(AF = AH.\)

Do đó \(\Delta EAH\) cân có đường cao AB nên AB đồng thời là phân giác của \(\widehat {EAH}\) hay \(\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}}.\)

\(\Delta FAH\) cân có đường cao AC nên AC đồng thời là phân giác của \(\widehat {FAH}\) hay \(\widehat {{A_3}} = \widehat {{A_4}}.\)

Mà \(\widehat {{A_2}} + \widehat {{A_3}} = {90^ \circ }(gt)\)

\( \Rightarrow \widehat {{A_1}} + \widehat {{A_2}} + \widehat {{A_3}} + \widehat {{A_4}}\)\( = 2\widehat {{A_2}} + 2\widehat {{A_3}} = 2.\left( {\widehat {{A_2}} + \widehat {{A_3}}} \right) = {2.90^0} = {180^ \circ } \)

\(\Rightarrow E,A,F\) thẳng hàng.

Ta có AE = AH (cmt) và AH = AF (cmt) \( \Rightarrow AF = AE.\)

Vậy A là trung điểm của đoạn EF.

b) Ta có BE = BH, CF = CH (do AB là đường trung trực của EH và AC là đường trung trực của FH)

Mà \(BC = BH + HC\) \( \Rightarrow BC = BE + CF.\)

soanvan.me