Đề bài
Cho tứ giác ABCD có AB = CD. Chứng minh rằng đường thẳng đi qua trung điểm của hai đường chéo tạo với AB và CD các góc bằng nhau.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng:
- Định nghĩa: Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác.
- Định lí: Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.
Lời giải chi tiết
Gọi I, M, N lần lượt là trung điểm của AD, AC và BD ; MN cắt AB, CD theo thứ tự ở E và F. Khi đó MI là đường trung bình của \(\Delta ACD\) và NI là đường trung bình của \(\Delta ABD\)
Nên \(MI// CD\) và \(MI = {1 \over 2}CD.\)
\(NI// AB\) và \(NI=\dfrac{1}2AB\), mà \(AB = CD(gt)\)
\( \Rightarrow MI = NI\) hay \(\Delta IMN\) cân tại I
\( \Rightarrow \widehat {IMN} = \widehat {INM}\)
Mà \(\widehat {IMN} + \widehat {IMF} = {180^0}\)
\(\widehat {INM} + \widehat {INF} = {180^0}\)
\( \Rightarrow \widehat {IMF} = \widehat {INF}\)(1)
Lại có \(IN//AB\) (cmt) \( \Rightarrow \widehat {INM} = \widehat {BEN}\) (2) (so le trong).
\(IM//CD\) \(\Rightarrow \widehat {IMN} = \widehat {CFM}\) (3) (so le trong)
Từ (1), (2), (3) suy ra \(\widehat {BEN} = \widehat {CFN}\) (đpcm)
soanvan.me