Đề bài
Phần I. Trắc nghiệm
Câu 1 (1,5 điểm). Hãy chọn đáp án đúng.
Giá trị của \(\sqrt {7,5} .\sqrt {2,7} \) bằng:
(A) 45 (B) 4,5
(C) 15 (D) 1,5
Câu 2 (1,5 điểm). Hãy chọn đáp án đúng.
Giá trị của \(\dfrac{1}{{\sqrt 5 + \sqrt 3 }} - \dfrac{1}{{\sqrt 5 - \sqrt 3 }}\) bằng
(A) \(\sqrt 3 \) (B) \(4\sqrt {15} \)
(C) \( - \sqrt 3 \) (D) \( - 4\sqrt {15} \)
Phần II. Tự luận
Câu 3 (3 điểm). Chứng minh đẳng thức:
\(\left( {\dfrac{{a\sqrt a + b\sqrt b }}{{\sqrt a + \sqrt b }} - \sqrt {ab} } \right){\left( {\dfrac{{\sqrt a + \sqrt b }}{{a - b}}} \right)^2} = 1\) (với \(a \ge 0,\,\,b \ge 0,\,\,a \ne b\))
Câu 4 (4 điểm). Cho biểu thức
\(M = \left( {\dfrac{{\sqrt x + 1}}{{x + 2\sqrt x + 1}} - \dfrac{{\sqrt x - 2}}{{x - 1}}} \right).\dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}\) với \(x > 0,\,\,x \ne 1\)
a) Rút gọn M.
b) Tính giá trị của x để M có giá trị âm.
Lời giải chi tiết
Phần trắc nghiệm
Câu 1. Chọn B.
Phương pháp:
Vận dụng kiến thức \(\sqrt a .\sqrt b = \sqrt {a.b} \) và cách tìm căn bậc hai của một số.
Lời giải:
\(\sqrt {7,5} .\sqrt {2,7} \)\( = \sqrt {7,5.2,7} = \sqrt {20,25} = 4,5\)
Câu 2. Chọn C.
Phương pháp:
Quy đồng rồi tính giá trị của biểu thức.
Lời giải:
\(\dfrac{1}{{\sqrt 5 + \sqrt 3 }} - \dfrac{1}{{\sqrt 5 - \sqrt 3 }}\)\( = \dfrac{{\sqrt 5 - \sqrt 3 }}{{\left( {\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right)\left( {\sqrt 5 - \sqrt 3 } \right)}} - \dfrac{{\sqrt 5 + \sqrt 3 }}{{\left( {\sqrt 5 - \sqrt 3 } \right)\left( {\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right)}}\) \( = \dfrac{{\sqrt 5 - \sqrt 3 - \sqrt 5 - \sqrt 3 }}{{5 - 3}} = \dfrac{{ - 2\sqrt 3 }}{2} \)\(= - \sqrt 3 \)
Phần tự luận:
Câu 3:
Phương pháp:
Rút gọn vế phải để được đẳng thức đúng.
Lời giải:
\(VT = \left( {\dfrac{{\left( {a\sqrt a + b\sqrt b } \right)\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)}}{{\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)}} - \sqrt {ab} } \right){\left( {\dfrac{{\sqrt a + \sqrt b }}{{a - b}}} \right)^2} \)\(=\left[ {\dfrac{{{a^2} + b\sqrt {ab} - a\sqrt {ab} - {b^2} - \sqrt {ab} \left( {a - b} \right)}}{{a - b}}} \right]{\left( {\dfrac{{\sqrt a + \sqrt b }}{{a - b}}} \right)^2}\)
\( = \left[ {\dfrac{{{a^2} - {b^2} - 2\left( {a - b} \right)\sqrt {ab} }}{{a - b}}} \right]{\left( {\dfrac{{\sqrt a + \sqrt b }}{{a - b}}} \right)^2}\) \( = \left[ {\dfrac{{\left( {a + b} \right)\left( {a - b} \right) - 2\left( {a - b} \right)\sqrt {ab} }}{{a - b}}} \right]{\left( {\dfrac{{\sqrt a + \sqrt b }}{{a - b}}} \right)^2}\) \( = \dfrac{{\left( {a + b - 2\sqrt {ab} } \right)\left( {a - b} \right)}}{{a - b}} \cdot {\left( {\dfrac{{\sqrt a + \sqrt b }}{{a - b}}} \right)^2}\) \( = \dfrac{{{{\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)}^2}{{\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}^2}}}{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}} = \dfrac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}} = 1\)
\(= VP\) (đpcm)
Câu 4:
Phương pháp:
a) Vận dụng các phép biến đổi biểu thức chứa căn và thực hiện các phép tính để rút gọn M.
b) Tìm x khi \(M < 0.\)
Lời giải:
a) ĐKXĐ: \(x > 0,\,\,x \ne 1\)
\(M = \left( {\dfrac{{\sqrt x + 1}}{{x + 2\sqrt x + 1}} - \dfrac{{\sqrt x - 2}}{{x - 1}}} \right).\dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}\)\( = \left( {\dfrac{{\sqrt x + 1}}{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}} - \dfrac{{\sqrt x - 2}}{{x - 1}}} \right)\dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}\) \( = \left( {\dfrac{{\sqrt x - 1 - \sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}} \right)\dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}\) \( = \dfrac{1}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\sqrt x }}\)
b) Để M có giá trị âm thì ta có :
\(\dfrac{1}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\sqrt x }} < 0\)\( \Leftrightarrow \sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right) < 0\) \( \Leftrightarrow \sqrt x - 1 < 0\) \( \Leftrightarrow \sqrt x < 1 \Leftrightarrow x < 1\)
Vậy \(0 < x < 1\) thì M có giá trị âm.
soanvan.me