Đề bài
Phần I. Trắc nghiệm
Câu 1 (1,5 điểm). Hãy chọn đáp án đúng.
Giá trị của \(\dfrac{{\sqrt {9,8} }}{{\sqrt {1,8} }}\) bằng
(A) \(\dfrac{{49}}{9}\) (B) \(\dfrac{{49}}{3}\)
(C) \(\dfrac{7}{9}\) (D) \(\dfrac{7}{3}\)
Câu 2 (1,5 điểm). Hãy chọn đáp án đúng
Giá trị của \(\dfrac{{3\sqrt 2 - 2\sqrt 3 }}{{\sqrt 6 - 2}}\) bằng
(A) \( - \sqrt 3 \) (B) \( - \sqrt 2 \)
(C) \(\sqrt 3 \) (D) \(\sqrt 2 \)
Phần II. Tự luận
Câu 3 (3 điểm). Chứng minh đẳng thức
\(\dfrac{{{{\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)}^3} + 2a\sqrt a + b\sqrt b }}{{a\sqrt a + b\sqrt b }} + \dfrac{{3\left( {\sqrt {ab} - b} \right)}}{{a - b}} = 3\) với \(a > 0,\,\,b > 0,\,\,a \ne b\)
Câu 4. (4 điểm). Cho biểu thức
\(N = \left( {\dfrac{{\sqrt x - 2}}{{x - 1}} - \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{x + 2\sqrt x + 1}}} \right).\dfrac{{1 - x}}{{\sqrt {2x} }}\) (với \(x > 0,\,\,x \ne 1\))
a) Rút gọn N
b) Chứng tỏ N luôn dương với \(x > 0\) và \(x \ne 1\)
c) Tìm x sao cho N có giá trị bằng \(\dfrac{{\sqrt 2 }}{3}\)
Lời giải chi tiết
LG Phần trắc nghiệm
Câu 1. Chọn D.
Phương pháp:
Áp dụng kiến thức: Với biểu thức A không âm và biểu thức B dương, ta có:
\(\sqrt {\dfrac{A}{B}} = \dfrac{{\sqrt A }}{{\sqrt B }}\)
Lời giải:
Ta có : \(\dfrac{{\sqrt {9,8} }}{{\sqrt {1,8} }}\)\( = \sqrt {\dfrac{{9,8}}{{1,8}}} \)\(= \sqrt {\dfrac{{49}}{9}} \)\(= \dfrac{{\sqrt {49} }}{{\sqrt 9 }} = \dfrac{7}{3}\)
Câu 2. Chọn C.
Phương pháp:
Áp dụng kiến thức : Với các biểu thức A, B, C mà \(A \ge 0\) và \(A \ne {B^2}\), thì:
\(\dfrac{C}{{\sqrt A \pm B}} = \dfrac{{C\left( {\sqrt A \mp B} \right)}}{{A - {B^2}}}\)
Lời giải:
\(\dfrac{{3\sqrt 2 - 2\sqrt 3 }}{{\sqrt 6 - 2}}\)\( = \dfrac{{\left( {3\sqrt 2 - 2\sqrt 3 } \right)\left( {\sqrt 6 + 2} \right)}}{{6 - 4}}\) \( = \dfrac{{3\sqrt {12} - 2\sqrt {18} + 6\sqrt 2 - 4\sqrt 3 }}{2}\) \( = \dfrac{{6\sqrt 3 - 6\sqrt 2 + 6\sqrt 2 - 4\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 3 \).
LG Phần tự luận:
Câu 3:
Phương pháp:
Biến đổi vế trái sao cho bằng kết quả của vế phải.
Lời giải:
ĐKXĐ : \(a > 0,\,\,b > 0,\,\,a \ne b\)
\(VT=\dfrac{{{{\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)}^3} + 2a\sqrt a + b\sqrt b }}{{a\sqrt a + b\sqrt b }} \)\(+ \dfrac{{3\left( {\sqrt {ab} - b} \right)}}{{a - b}}\)
\( = \dfrac{{a\sqrt a - 3a\sqrt b + 3b\sqrt a - b\sqrt b + 2a\sqrt a + b\sqrt b }}{{{{\left( {\sqrt a } \right)}^3} + {{\left( {\sqrt b } \right)}^3}}} \)\(+ \dfrac{{3\left( {\sqrt {ab} - b} \right)}}{{\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)}}\)
\( = \dfrac{{3a\sqrt a - 3a\sqrt b + 3b\sqrt a }}{{\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)\left( {a - \sqrt {ab} + b} \right)}} \)\(+ \dfrac{{3\sqrt b \left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)}}{{\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)}}\)
\( = \dfrac{{3\sqrt a \left( {a - \sqrt {ab} + b} \right)}}{{\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)\left( {a - \sqrt {ab} + b} \right)}}\)\( + \dfrac{{3\sqrt b }}{{\sqrt a + \sqrt b }}\)
\( = \dfrac{{3\sqrt a }}{{\sqrt a + \sqrt b }} + \dfrac{{3\sqrt b }}{{\sqrt a + \sqrt b }}\)
\( = \dfrac{{3\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}}{{\sqrt a + \sqrt b }} = 3 = VP.\)
Vậy đẳng thức đã cho là một đẳng thức đúng.
Câu 4:
Phương pháp:
a) Vận dụng các phép biến đổi và các phép tính để rút gọn giá trị của N.
b) Với điều kiện \(x > 0\) và \(x \ne 1\), biện luận để chứng tỏ \(N > 0\)
c) Thay giá trị của \(N = \dfrac{{\sqrt 2 }}{3}\) vào biểu thức vừa rút gọn ở câu a rồi tìm giá trị của x.
Lời giải:
a) \(N = \left( {\dfrac{{\sqrt x - 2}}{{x - 1}} - \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{x + 2\sqrt x + 1}}} \right).\dfrac{{1 - x}}{{\sqrt {2x} }}\) (với \(x > 0,\,\,x \ne 1\))
\( \Leftrightarrow N = \left( {\dfrac{{\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} - \dfrac{{\sqrt x - 2}}{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}} \right) \cdot \dfrac{{1 - x}}{{\sqrt {2x} }}\)
\( \Leftrightarrow N = \left[ {\dfrac{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right) - \left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right){{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}} \right] \cdot \dfrac{{1 - x}}{{\sqrt {2x} }}\)
\( \Leftrightarrow N = \left( {\dfrac{{x - \sqrt x - 2 - x - \sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right){{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}} \right) \cdot \dfrac{{1 - x}}{{\sqrt {2x} }}\)
\( \Leftrightarrow N = \dfrac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt x + 1}}\)
b) Vì \(\sqrt x > 0{\,\rm{ }}\forall x > 0;x \ne 1\) nên \(\sqrt x + 1 > 0\)
Suy ra \(\dfrac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt x + 1}} > 0{\,\rm{ }}\forall x > 0;x \ne 1\)
Vậy N luôn dương với mọi \(x > 0;x \ne 1\)
c) \(N = \dfrac{{\sqrt 2 }}{3}\) \( \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt x + 1}} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{3} \Leftrightarrow \sqrt x + 1 = 3\) \( \Leftrightarrow \sqrt x = 2 \Leftrightarrow x = 4.\)
Vậy khi \(N = \dfrac{{\sqrt 2 }}{3}\) thì \(x = 4.\)
soanvan.me