Đề bài
Câu 1 (3 điểm). Cho hai hàm số bậc nhất
\(y = \left( {m - \dfrac{1}{2}} \right)x + \dfrac{m}{3}\) và \(y = \dfrac{m}{3}x - \dfrac{1}{2}\)
Hãy chọn đáp án đúng.
a) Hai hàm số đã cho có đồ thị là hai đường thẳng song song với nhau khi m bằng:
(A) \(\dfrac{4}{3}\) (B) \(\dfrac{3}{4}\)
(C) \(\dfrac{1}{3}\) (D) 3
b) Khi m = 1, đồ thị của hai hàm số đã cho cắt nhau tại một điểm có tọa độ là:
(A) \(\left( { - 5\,;\, - \dfrac{{13}}{6}} \right)\) (B) \(\left( { - \dfrac{{13}}{6}\,;\, - 5} \right)\)
(C) \(\left( { - 1\,;\, - \dfrac{1}{6}} \right)\) (D) \(\left( {1\,;\,\dfrac{5}{6}} \right)\)
c) Khi m = 1, góc tạo bởi đường thẳng \(y = \left( {m - \dfrac{1}{2}} \right)x + \dfrac{m}{3}\) và trục Ox (làm tròn đến phút) có số đo bằng:
(A) 26o33’ (B) 153o26’
(C) 26o34’ (D) 153o27’
Câu 2 (3 điểm). Viết phương trình của đường thẳng trong trường hợp:
a) Đường thẳng đi qua điểm \(A\left( {\dfrac{1}{2}\,;\,\dfrac{3}{5}} \right)\) và song song với đường thẳng y = 2x – 3.
b) Đường thẳng cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \(3\dfrac{1}{2}\) và đi qua điểm \(B\left( {\dfrac{2}{3}\,;\,2} \right)\)
Câu 3 (4 điểm). Cho hai hàm số bậc nhất
\(y = \left( {m - \dfrac{1}{2}} \right)x + 1\) và \(y = \left( {\dfrac{1}{3} - m} \right)x + 5\)
a) Với giá trị nào của m thì đồ thị của hai hàm số đã cho là hai đường thẳng cắt nhau ?
b) Vẽ đồ thị của hai hàm số đó trên cùng một mặt phẳng tọa độ khi m = 2 ?
c) Gọi giao điểm của hai đường thẳng đã cho, khi m = 2, với trục Ox theo thứ tự là A, B và giao điểm của hai đường thẳng đó là C. Hãy tìm tọa độ của các điểm A, B, C và diện tích tam giác ABC (đơn vị đo trên các trục tọa độ là centimet) (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
Lời giải chi tiết
Câu 1:
Phương pháp giải :
Hai đường thẳng \(y = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) và \(y = a'x + b'\,\,\left( {a' \ne 0} \right)\)
a) Song song với nhau khi \(a = a'\) và \(b \ne b'\).
b)
- Thay \(m = 1\) vào hàm số đã cho.
- Tìm hoành độ giao điểm của hai đồ thị bằng cách giải phương trình \(ax + b = a'x + b'\)
- Thay hoành độ vừa tìm được vào một trong hai hàm số rồi tìm giá trị của tung độ giao điểm.
c)
Thay m vào hàm số rồi tìm hệ số góc a rồi vận dụng kiến thức :
- Khi a > 0, ta có \(\tan \alpha = a\)
- Khi a < 0, ta có \(\tan \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) = \left| a \right|\)
Lời giải :
\(y = \left( {m - \dfrac{1}{2}} \right)x + \dfrac{m}{3}\) và \(y = \dfrac{m}{3}x - \dfrac{1}{2}\)
a) Hai hàm số đã cho có đồ thị là hai đường thẳng song song với nhau khi:
\(\left\{ \begin{array}{l}a = a'\\b \ne b'\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - \dfrac{1}{2} = \dfrac{m}{3}\\\dfrac{m}{3} \ne - \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = \dfrac{3}{4}\\m \ne - \dfrac{3}{2}\end{array} \right.\)
Vậy để đồ thị hai hàm số song song với nhau thì \(m = \dfrac{3}{4}\)
Chọn B.
b) Khi m = 1 thì ta có hai hàm số là :
\(y = \dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{3}{\rm{ }}\left( {{d_1}} \right);{\rm{ y = }}\dfrac{1}{3}x - \dfrac{1}{2}{\rm{ }}\left( {{d_2}} \right)\)
Hoành độ giao điểm I của hai đường thẳng là nghiệm của phương trình :
\(\dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{3}x - \dfrac{1}{2}\) \( \Leftrightarrow \dfrac{1}{6}x = - \dfrac{5}{6} \Leftrightarrow x = - 5\)
Với \(x = - 5\) thay vào một trong hai hàm số để tìm tung độ giao điểm ta có:
\(y = \dfrac{{ - 5}}{2} + \dfrac{1}{3} = - \dfrac{{13}}{6}\)
Vậy hai đường thẳng cắt nhau tại điểm \(I\left( { - 5;\dfrac{{ - 13}}{6}} \right)\)
Chọn A.
c) Khi m = 1, thì ta có \(y = \left( {m - \dfrac{1}{2}} \right)x + \dfrac{m}{3}\)\( \Rightarrow y = \dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{3}{\rm{ (d)}}\)
Gọi \(\alpha \) là góc tạo bởi đường thẳng d và trục Ox thì
\(\tan \alpha = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \alpha \approx {26^o}34'\) (vì \(a = \dfrac{1}{2} > 0\) )
Chọn C.
Câu 2:
Phương pháp giải :
Gọi phương trình đường thẳng cần viết có dạng là \(y = ax + b\)
a) Thay giá trị \(x = \dfrac{1}{2};y = \dfrac{3}{5}\) vào phương trình có phương trình liên quan đến a; b.
Đường thẳng cần tìm song song với đường thẳng \(y = 2x - 3\) nên tìm được giá trị của a.
Tìm giá trị của b rồi viết phương trình đường thẳng thỏa mãn.
b) Thay \(x = 0;y = 3\dfrac{1}{2}\) và \(x = \dfrac{2}{3};y = 2\) để tìm giá trị của a và b.
Lời giải :
a) Gọi phương trình đường thẳng cần viết có dạng là \(y = ax + b\)
Ta có : Đường thẳng đi qua điểm \(A\left( {\dfrac{1}{2}\,;\,\dfrac{3}{5}} \right)\) nên \(\dfrac{3}{5} = a\dfrac{1}{2} + b\) (1)
Mà đường thẳng cần tìm song song với đường thẳng \(y = 2x - 3\) nên \(a = 2;b \ne - 3\)
Với \(a = 2\) thay vào (1) ta được :
\(\dfrac{3}{5} = 2 \cdot \dfrac{1}{2} + b \Leftrightarrow b = - \dfrac{2}{5}\)
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là \(y = 2x - \dfrac{2}{5}\) .
b) Đường thẳng cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \(3\dfrac{1}{2}\) và đi qua điểm \(B\left( {\dfrac{2}{3}\,;\,2} \right)\)
Gọi phương trình đường thẳng cần viết có dạng là \(y = a'x + b'\)
- Đường thẳng cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \(3\dfrac{1}{2} = \dfrac{7}{2}\) nên :
\(\dfrac{7}{2} = a'.0 + b' \Leftrightarrow b' = \dfrac{7}{2}\)
- Đường thẳng đi qua điểm \(B\left( {\dfrac{2}{3};2} \right)\) nên ta có :
\(a' \cdot \dfrac{2}{3} + b' = 2\)
\( \Leftrightarrow a' \cdot \dfrac{2}{3} + \dfrac{7}{2} = 2\)
\( \Leftrightarrow a' \cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{{ - 3}}{2}\)
\( \Leftrightarrow a' = - \dfrac{9}{4}\)
Vậy đường thẳng có dạng \(y = - \dfrac{9}{4}x + \dfrac{7}{2}\)
Câu 3:
Phương pháp giải :
a) Hai đường thẳng \(y = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) và \(y = a'x + b'\,\,\left( {a' \ne 0} \right)\)cắt nhau khi \(a \ne a'\).
b) Cách vẽ đường thẳng y = ax + b (trường hợp \(a \ne 0\) và \(b \ne 0\))
- Cho x = 0 thì y = b, được điểm P(0 ; b) thuộc trục tung Oy.
- Cho y = 0 thì \(x = - \dfrac{b}{a}\), được điểm \(Q\left( { - \dfrac{b}{a};0} \right)\) thuộc trục hoành Ox.
- Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm P và Q
c) Tìm tọa độ giao điểm C của hai đường thẳng bằng cách :
- Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình \(ax + b = a'x + b'\)
- Thay hoành độ vừa tìm được vào một trong hai hàm số rồi tìm giá trị của tung độ giao điểm.
Diện tích hình tam giác bằng cạnh đáy nhân chiều cao tương ứng rồi chia cho 2.
Cách giải :
\(y = \left( {m - \dfrac{1}{2}} \right)x + 1\) và \(y = \left( {\dfrac{1}{3} - m} \right)x + 5\)
a) Để đồ thị hai hàm số là hai đường thẳng cắt nhau thì
\(m - \dfrac{1}{2} \ne \dfrac{1}{3} - m\) \( \Leftrightarrow 2m \ne \dfrac{5}{6} \Leftrightarrow m \ne \dfrac{5}{{12}}\)
b) Với \(m = 2\) thì ta có hai hàm số là : \(y = \dfrac{3}{2}x + 1{\rm{ }}\left( {{d_1}} \right);{\rm{ y = - }}\dfrac{5}{6}x + 5{\rm{ (}}{{\rm{d}}_2})\)
Vẽ đồ thị hàm số \(y = \dfrac{3}{2}x + 1\) :
- Với \(x = 0\) thì \(y = 1\)
- Với \(y = 0\) thì \(x = - \dfrac{2}{3}\)
Đồ thị hàm số \(y = \dfrac{3}{2}x + 1\) là đường thẳng đi qua hai điểm \(E\left( {0;1} \right)\) và \(A\left( { - \dfrac{2}{3};0} \right)\)
Vẽ đồ thị hàm số \(y = - \dfrac{5}{6}x + 5\) :
- Với \(x = 0\) thì \(y = 5\)
- Với \(\) thì \(x = 6\)
Đồ thị hàm số \(y = - \dfrac{5}{6}x + 5\) là đường thẳng đi qua hai điểm \(D\left( {0;5} \right)\) và \(B\left( {6;0} \right)\).
c) Gọi giao điểm của hai đường thẳng đã cho, khi m = 2, với trục Ox theo thứ tự là A, B và giao điểm của hai đường thẳng đó là C.
Ta có : \(A\left( { - \dfrac{2}{3};0} \right)\) ; \(B\left( {6;0} \right)\) (theo cách vẽ đồ thị)
Hoành độ giao điểm C của hai đường thẳng là nghiệm của phương trình :
\(\dfrac{3}{2}x + 1 = - \dfrac{5}{6}x + 5\) \( \Leftrightarrow \dfrac{9}{6}x = 4\) \( \Leftrightarrow x = \dfrac{{24}}{9} = \dfrac{8}{3}\)
Với \(x = \dfrac{8}{3}\) thay vào một hàm số ta được \(y = \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{8}{3} + 1 = \dfrac{{25}}{9}\)
Vậy giao điểm của hai đường thẳng là \(C\left( {\dfrac{8}{3};\dfrac{{25}}{9}} \right)\)
Diện tích tam giác ABC :
Gọi K là hình chiếu vuông góc của C xuống Ox.
Diện tích tam giác ABC là : \(S = \dfrac{1}{2}AB.CK\)
Ta có : \(AB = AO + OB = \dfrac{2}{3} + 6 = \dfrac{{20}}{3}\)
\(CK = \dfrac{{25}}{9}\)
Vậy \(S = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{{20}}{3} \cdot \dfrac{{25}}{9} = \dfrac{{250}}{{27}}\left( {c{m^2}} \right)\)
soanvan.me