Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định trên $D$. Với ${x_1},{x_2} \in D;{x_1} < {x_2}$, khẳng định nào sau đây là đúng?
-
A
$f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)$ thì hàm số đồng biến trên $D$
-
B
$f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)$ thì hàm số nghịch biến trên $D$
-
C
$f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right)$ thì hàm số đồng biến biến trên $D$
-
D
$f\left( {{x_1}} \right) = f\left( {{x_2}} \right)$ thì hàm số đồng biến trên $D$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định trên tập $D$. Khi đó :
- Hàm số đồng biến trên $D \Leftrightarrow \forall {x_1},{x_2} \in D:{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)$.
- Hàm số nghịch biến trên $D \Leftrightarrow \forall {x_1},{x_2} \in D:{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right)$
Cho hàm số $f\left( x \right) = 3 - {x^2}$. Tính $f\left( { - 1} \right)$
-
A
$ - 2$
-
B
$2$
-
C
$1$
-
D
$0$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
Sử dụng cách tính giá trị hàm số tại một điểm
Để tính giá trị ${y_0}$ của hàm số $y = f\left( x \right)$ tại điểm ${x_0}$ ta thay $x = {x_0}$ vào $f\left( x \right)$, ta được ${y_0} = f\left( {{x_0}} \right)$.
Thay $x = - 1$ vào hàm số ta được $f\left( { - 1} \right) = 3 - {\left( { - 1} \right)^2} = 2$.
Cho hàm số $f\left( x \right) = {x^3} - 3x - 2$. Tính $2.f\left( 3 \right)$
-
A
$16$
-
B
$8$
-
C
$32$
-
D
$64$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
Sử dụng cách tính giá trị hàm số tại một điểm
Để tính giá trị ${y_0}$ của hàm số $y = f\left( x \right)$ tại điểm ${x_0}$ ta thay $x = {x_0}$ vào $f\left( x \right)$, ta được ${y_0} = f\left( {{x_0}} \right)$.
Thay $x = 3$ vào hàm số ta được $f\left( 3 \right) = {3^3} - 3.3 - 2 = 16$$ \Rightarrow 2.f\left( 3 \right) = 2.16 = 32$.
Cho hai hàm số $f\left( x \right) = - 2{x^3}$ và $h\left( x \right) = 10 - 3x$. So sánh $f\left( { - 2} \right)$ và $h\left( { - 1} \right)$
-
A
$f\left( { - 2} \right) < h\left( { - 1} \right)$
-
B
$f\left( { - 2} \right) \le h\left( { - 1} \right)$
-
C
$f\left( { - 2} \right) = h\left( { - 1} \right)$
-
D
$f\left( { - 2} \right) > h\left( { - 1} \right)$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
Sử dụng cách tính giá trị hàm số tại một điểm
Để tính giá trị ${y_0}$ của hàm số $y = f\left( x \right)$ tại điểm ${x_0}$ ta thay $x = {x_0}$ vào $f\left( x \right)$, ta được ${y_0} = f\left( {{x_0}} \right)$.
So sánh các giá trị tìm được
Thay $x = - 2$ vào hàm số $f\left( x \right) = - 2{x^3}$ ta được $f\left( { - 2} \right) = - 2.{\left( { - 2} \right)^3} = 16$.
Thay $x = - 1$ vào hàm số $h\left( x \right) = 10 - 3x$ ta được $h\left( { - 1} \right) = 10 - 3\left( { - 1} \right) = 13$
Nên $f\left( { - 2} \right) > h\left( { - 1} \right)$.
Cho hai hàm số $f\left( x \right) = {x^2}$ và $g\left( x \right) = 5x - 4$. Có bao nhiêu giá trị của $a$ để $f\left( a \right) = g\left( a \right)$
-
A
$0$
-
B
$1$
-
C
$2$
-
D
$3$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
Thay $x = a$ vào hai hàm số đã cho sau đó giải phương trình $f\left( a \right) = g\left( a \right)$ để tìm các giá trị thỏa mãn.
Thay $x = a$ vào hai hàm số đã cho ta được $f\left( a \right) = {a^2}$, $g\left( a \right) = 5a- 4$
Khi đó $f\left( a \right) = g\left( a \right) \Leftrightarrow {a^2} = 5a - 4 \Leftrightarrow {a^2} - 5a + 4 = 0 \Leftrightarrow \left( {a - 1} \right)\left( {a - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 1\\a = 4\end{array} \right.$
Vậy có hai giá trị của $a$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Cho hàm số $f\left( x \right) = 5,5x$ có đồ thị $\left( C \right)$. Điểm nào sau đây thuộc đồ thị hàm số $\left( C \right).$
-
A
$M\left( {0;1} \right)$
-
B
$N\left( {2;11} \right)$
-
C
$P\left( { - 2;11} \right)$
-
D
$P\left( { - 2;12} \right)$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
Điểm $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ thuộc đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ khi ${y_0} = f\left( {{x_0}} \right)$
Lần lượt thay tọa độ các điểm $M,N,P,Q$ vào hàm số $f\left( x \right) = 5,5x$ ta được
+) Với $M\left( {0;1} \right)$, thay $x = 0;y = 1$ ta được $1 = 5,5.0 \Leftrightarrow 1 = 0$ (Vô lý) nên $M \notin \left( C \right)$.
+) Với $N\left( {2;11} \right)$, thay $x = 2;y = 11$ ta được $2.5,5 = 11 \Leftrightarrow 11 = 11$ (luôn đúng) nên $N \in \left( C \right)$
+) Với $P\left( { - 2;11} \right)$, thay $x = - 2;y = 11$ ta được $11 = 5,5.\left( { - 2} \right) \Leftrightarrow 11 = - 11$ (Vô lý) nên $P \notin \left( C \right)$.
+) Với $M\left( { - 2;12} \right)$, thay $x = - 2;y = 12$ ta được $12 = 5,5.\left( { - 2} \right) \Leftrightarrow 12 = - 11$ (Vô lý) nên $Q \notin \left( C \right)$.
Cho hàm số $f\left( x \right) = - \dfrac{1}{4}x$ có đồ thị $\left( C \right)$ và các điểm $M\left( {0;4} \right);P\left( {4; - 1} \right);Q\left( { - 4;1} \right);A\left( {8; - 2} \right);O\left( {0;0} \right).$ Có bao nhiêu điểm trong số các điểm trên thuộc đồ thị hàm số $\left( C \right)$.
-
A
$4$
-
B
$3$
-
C
$2$
-
D
$1$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Điểm $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ thuộc đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ khi ${y_0} = f\left( {{x_0}} \right)$
Lần lượt thay tọa độ các điểm $M,O,P,Q;A$ vào hàm số $f\left( x \right) = - \dfrac{1}{4}x$ ta được
+) Với $M\left( {0;4} \right)$, thay $x = 0;y = 4$ ta được $4 = - \dfrac{1}{4}.0 \Leftrightarrow 4 = 0$ (Vô lý) nên $M \notin \left( C \right)$.
+) Với $O\left( {0;0} \right)$, thay $x = 0;y = 0$ ta được $0 = - \dfrac{1}{4}.0 \Leftrightarrow 0 = 0$ (luôn đúng) nên $O \in \left( C \right)$
+) Với $P\left( {4; - 1} \right)$, thay $x = 4;y = - 1$ ta được $ - 1 = - \dfrac{1}{4}.4 \Leftrightarrow - 1 = - 1$ (luôn đúng) nên $P \in \left( C \right)$.
+) Với $Q\left( { - 4;1} \right)$, thay $x = - 4;y = 1$ ta được $1 = \dfrac{{ - 1}}{4}.\left( { - 4} \right) \Leftrightarrow 1 = 1$ (luôn đúng) nên $Q \in \left( C \right)$.
+) Với $A\left( {8; - 2} \right)$, thay $x = 8;y = - 2$ ta được $ - 2 = \dfrac{{ - 1}}{4}.8 \Leftrightarrow - 2 = -2$ (luôn đúng) nên $A \in \left( C \right)$.
Vậy có bốn điểm thuộc đồ thị $\left( C \right)$ trong số các điểm đã cho.
Đường thẳng nào sau đây đi qua điểm $M\left( {1;4} \right)$?
-
A
$2x + y - 3 = 0$
-
B
$y - 5 = 0$
-
C
$4x - y = 0$
-
D
$5x + 3y - 1 = 0$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
Lần lượt thay tọa độ điểm $M$ vào các phương trình đường thẳng, phương trình nào được thỏa mãn thì đường thẳng đó đi qua $M$.
+) Thay $x = 1;y = 4$ vào $2x + y - 3 = 0$ ta được $2.1 + 4 - 3 = 3 \ne 0$
+) Thay $x = 1;y = 4$ vào $y - 5 = 0$ ta được $4 - 5 = - 1 \ne 0$
+) Thay $x = 1;y = 4$ vào $4x - y = 0$ ta được $4.1 - 4 = 0$
+) Thay $x = 1;y = 4$ vào $5x + 3y - 1 = 0$ ta được $5.1 + 3.4 - 1 = 16 \ne 0$
Vậy đường thẳng $d:4x - y = 0$ đi qua $M\left( {1;4} \right)$.
Hàm số $y = 1 - 4x$ là hàm số?
-
A
Đồng biến
-
B
Hàm hằng
-
C
Nghịch biến
-
D
Đồng biến với $x > 0$.
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
Bước 1: Tìm tập xác định $D$ của hàm số.
Bước 2: Giả sử ${x_1} < {x_2}$ và ${x_1},{x_2} \in D$. Xét hiệu $H = f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right)$.
+ Nếu $H < 0$ với ${x_1},{x_2}$ bất kỳ thì hàm số đồng biến.
+ Nếu $H > 0$ với ${x_1},{x_2}$ bất kỳ thì hàm số nghịch biến.
TXĐ: $D = \mathbb{R}$
Giả sử ${x_1} < {x_2}$ và ${x_1},{x_2} \in \mathbb{R}$ . Ta có $f\left( {{x_1}} \right) = 1 - 4{x_1};f\left( {{x_2}} \right) = 1 - 4{x_2}$.
Xét hiệu $H = f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) = 1 - 4{x_1} - \left( {1 - 4{x_2}} \right)$$ = 1 - 4{x_1} - 1 + 4{x_2} = 4\left( {{x_2} - {x_1}} \right)$$ > 0$ (vì ${x_1} < {x_2}$)
Vậy $y = 1 - 4x$ là hàm số nghịch biến.
Hàm số $y = 5x - 16$ là hàm số?
-
A
Đồng biến
-
B
Hàm hằng
-
C
Nghịch biến
-
D
Nghịch biến với $x > 0$.
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Bước 1: Tìm tập xác định $D$ của hàm số.
Bước 2: Giả sử ${x_1} < {x_2}$ và ${x_1},{x_2} \in D$. Xét hiệu $H = f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right)$.
+ Nếu $H < 0$ với ${x_1},{x_2}$ bất kỳ thì hàm số đồng biến.
+ Nếu $H > 0$ với ${x_1},{x_2}$ bất kỳ thì hàm số nghịch biến.
TXĐ: $D = \mathbb{R}$
Giả sử ${x_1} < {x_2}$ và ${x_1},{x_2} \in \mathbb{R}$ . Ta có $f\left( {{x_1}} \right) = 5{x_1} - 16;f\left( {{x_2}} \right) = 5{x_2} - 16$.
Xét hiệu $H = f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) = 5{x_1} - 16 - \left( {5{x_2} - 16} \right)$$ = 5{x_1} - 16 - 5{x_2} + 16 = 5\left( {{x_1} - {x_2}} \right) < 0$ (vì ${x_1} < {x_2}$)
Vậy $y = 5x - 16$ là hàm số đồng biến.
Cho hàm số $y = \left( {3m - 2} \right)x + 5m$. Tìm $m$ để hàm số nhận giá trị là $2$ khi $x = - 1$.
-
A
$m = 0$
-
B
$m = 1$
-
C
$m = 2$
-
D
$m = - 1$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Thay giá trị của $x$ và $y$ vào hàm số đã cho.
Giải phương trình thu được để tìm $m$.
Thay $x = - 1;y = 2$ vào $y = \left( {3m - 2} \right)x + 5m$ ta được $2 = \left( {3m - 2} \right).\left( { - 1} \right) + 5m $$\Leftrightarrow 2m = 0 \Leftrightarrow m = 0.$
Cho hàm số $y = mx - 3m + 2$. Tìm $m$ để đồ thị hàm số đi qua điểm $A\left( {2; - 3} \right)$.
-
A
$m = 3$
-
B
$m = 4$
-
C
$m = 5$
-
D
$m = 6$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
Thay tọa độ của điểm $A$ vào hàm số đã cho.
Giải phương trình thu được để tìm $m$.
Thay $x = 2;y = - 3$ vào $y = mx - 3m + 2$ ta được $m.2 - 3m + 2 = - 3 \Leftrightarrow - m = - 5 \Leftrightarrow m = 5$.
Cho hàm số $f\left( x \right) = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{2\sqrt x + 3}}$. Tính $f\left( {{a^2}} \right)$ với $a < 0$.
-
A
$f\left( {{a^2}} \right) = \dfrac{{a + 1}}{{3 + 2a}}$
-
B
$f\left( {{a^2}} \right) = \dfrac{{2a + 1}}{{3 - 2a}}$
-
C
$f\left( {{a^2}} \right) = \dfrac{{2a - 1}}{{3 + 2a}}$
-
D
$f\left( {{a^2}} \right) = \dfrac{{1 - a}}{{3 - 2a}}$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
Sử dụng cách tính giá trị hàm số tại một điểm
Để tính giá trị ${y_0}$ của hàm số $y = f\left( x \right)$ tại điểm ${x_0}$ ta thay $x = {x_0}$ vào $f\left( x \right)$, ta được ${y_0} = f\left( {{x_0}} \right)$
Thay $x = {a^2}$ vào $f\left( x \right) = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{2\sqrt x + 3}}$ ta được $f\left( {{a^2}} \right) = \dfrac{{\sqrt {{a^2}} + 1}}{{2\sqrt {{a^2}} + 3}} = \dfrac{{\left| a \right| + 1}}{{2\left| a \right| + 3}} = \dfrac{{ - a + 1}}{{ - 2a + 3}} = \dfrac{{1 - a}}{{3 - 2a}}$ (vì $a < 0 \Rightarrow \left| a \right| = - a$)
Cho hàm số $y = \left( {3 + 2\sqrt 2 } \right)x - \sqrt 2 - 1$. Tìm $x$ để $y = 0$.
-
A
$x = 1$
-
B
$x = \sqrt 2 + 1$
-
C
$x = \sqrt 2 $
-
D
$x = \sqrt 2 - 1$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
Đưa về giải phương trình bậc nhất một ẩn.
$\begin{array}{l}y = 0 \Leftrightarrow \left( {3 + 2\sqrt 2 } \right)x - \sqrt 2 - 1 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {3 + 2\sqrt 2 } \right)x = \sqrt 2 + 1\\ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt 2 + 1} \right)^2}x = \sqrt 2 + 1\\ \Leftrightarrow x = \dfrac{{\sqrt 2 + 1}}{{{{\left( {\sqrt 2 + 1} \right)}^2}}}\end{array}$
$\begin{array}{l} \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{{\sqrt 2 + 1}}\\ \Leftrightarrow x = \sqrt 2 - 1\end{array}$.