Hai dao động ngược pha khi:
-
A
\(\Delta \varphi = {\varphi _2} - {\varphi _1} = k2\pi \)
-
B
\(\Delta \varphi = {\varphi _2} - {\varphi _1} = (2k + 1)\pi \)
-
C
\(\Delta \varphi = {\varphi _2} - {\varphi _1} = \dfrac{{2k + 1}}{2}\pi \)
-
D
\(\Delta \varphi = {\varphi _2} - {\varphi _1} = \alpha \) bất kì
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
Hai dao động ngược pha khi:
\(\Delta \varphi = {\varphi _2} - {\varphi _1} = (2k + 1)\pi \)
Phát biểu nào sau đây là đúng khi nói về độ lệch pha giữa hai dao động:
-
A
\(\Delta \varphi = {\varphi _2} - {\varphi _1} = k2\pi \): hai dao động ngược pha
-
B
\(\Delta \varphi = {\varphi _2} - {\varphi _1} = (2k + 1)\pi \): hai dao động cùng pha
-
C
\(\Delta \varphi = {\varphi _2} - {\varphi _1} = \frac{{2k + 1}}{2}\pi \) : hai dao động vuông pha
-
D
\(\Delta \varphi = {\varphi _2} - {\varphi _1} = \frac{{2k + 1}}{2}\pi \) : Biên độ tổng hợp A = A1+A2
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
Ta có:
+ 2 dao động cùng pha khi:
\(\Delta \varphi = {\varphi _2} - {\varphi _1} = k2\pi \)
+ 2 dao động ngược pha khi:
\(\Delta \varphi = {\varphi _2} - {\varphi _1} = (2k + 1)\pi \)
+ 2 dao động vuông pha khi:
\(\Delta \varphi = {\varphi _2} - {\varphi _1} = \frac{{2k + 1}}{2}\pi \)
Biên độ dao động khi 2 dao động vuông pha:
\({A^2} = A_1^2 + A_2^2\)
Hai dao động có phương trình lần lượt là: \({x_1} = 5\cos \left( {2\pi t + 0,75\pi } \right)\left( {cm} \right)\) và \({x_2} = 10\cos \left( {2\pi t + 0,5\pi } \right)\left( {cm} \right)\). Độ lệch pha của hai dao động này có độ lớn bằng:
-
A
\(0,25\pi \)
-
B
\(1,25\pi \)
-
C
\(0,50\pi \)
-
D
\(0,75\pi \)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Áp dụng công thức tính độ lệch pha của 2 dao động:
\(\Delta \varphi = \left| {{\varphi _1} - {\varphi _2}} \right|\)
Ta có độ lệch pha giữa hai dao động là:
\(\Delta \varphi = \left| {{\varphi _1} - {\varphi _2}} \right| = \left| {0,75\pi - 0,5\pi } \right| = 0,25\pi \)
Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần só có phương trình lần lượt là x1 = A1cos(ωt+φ1) và x2 = A2cos(ωt+φ2). Pha ban đầu của vật được xác định bởi công thức nào sau đây?
-
A
\(\tan \varphi = \dfrac{{{A_1}\sin {\varphi _2} + {A_2}\sin {\varphi _1}}}{{{A_1}{\rm{cos}}{\varphi _2} + {A_2}{\rm{cos}}{\varphi _1}}}\)
-
B
\(\tan \varphi = \dfrac{{{A_1}{\rm{cos}}{\varphi _2} + {A_2}{\rm{cos}}{\varphi _1}}}{{{A_1}{\rm{sin}}{\varphi _2} + {A_2}{\rm{sin}}{\varphi _1}}}\)
-
C
\(\tan \varphi = \dfrac{{{A_1}\sin {\varphi _1} + {A_2}\sin {\varphi _2}}}{{{A_1}{\rm{cos}}{\varphi _1} + {A_2}{\rm{cos}}{\varphi _2}}}\)
-
D
\(\tan \varphi = \dfrac{{{A_1}{\rm{cos}}{\varphi _1} + {A_2}{\rm{cos}}{\varphi _2}}}{{{A_1}{\rm{sin}}{\varphi _1} + {A_2}{\rm{sin}}{\varphi _2}}}\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
Pha ban đầu của 2 dao động tổng hợp:
\(\tan \varphi = \dfrac{{{A_1}\sin {\varphi _1} + {A_2}\sin {\varphi _2}}}{{{A_1}{\rm{cos}}{\varphi _1} + {A_2}{\rm{cos}}{\varphi _2}}}\)
Xét $2$ dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có phương trình dao động $x_1 = 5cos(3πt + 0,75π)cm$, $x_2= 5sin(3πt – 0,25π)cm$. Pha ban đầu của dao động tổng hợp là:
-
A
$0,5π$
-
B
$-0,75π$
-
C
$-0,5π$
-
D
$π$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
Áp dụng công thức tính pha ban đầu của hai dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số:
\(\tan \varphi = \dfrac{{{A_1}\sin {\varphi _1} + {A_2}\sin {\varphi _2}}}{{{A_1}{\rm{cos}}{\varphi _1} + {A_2}{\rm{cos}}{\varphi _2}}}\)
$x_2 = 5sin(3πt – 0,25π) = 5cos(3πt – 0,75π)cm$
Dao động tổng hợp có pha ban đầu φ được xác định:
\(\tan \varphi = \dfrac{{{A_1}\sin {\varphi _1} + {A_2}\sin {\varphi _2}}}{{{A_1}{\rm{cos}}{\varphi _1} + {A_2}{\rm{cos}}{\varphi _2}}} = \dfrac{{5.\sin (0,75\pi ) + 5\sin ( - 0,75\pi )}}{{5.c{\rm{os}}(0,75\pi ) + 5c{\rm{os}}( - 0,75\pi )}} \Rightarrow \varphi = \pi \)
Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương cùng tần số có phương trình lần lượt là: x1 = A1cos(ωt+φ1) và x2 = A2cos(ωt+φ2). Biên độ dao động A của vật được xác định bởi công thức nào sau đây?
-
A
\(A = \sqrt {A_1^2 + A_2^2 + 2{A_1}{A_2}\cos ({\varphi _2} - {\varphi _1})} \)
-
B
\(A = \sqrt {A_1^{} + A_2^{} - 2{A_1}{A_2}\cos ({\varphi _2} - {\varphi _1})} \)
-
C
\(A = \sqrt {A_1^{} + A_2^{} + 2{A_1}{A_2}\cos ({\varphi _1} - {\varphi _2})} \)
-
D
\(A = \sqrt {A_1^2 + A_2^2 - 2{A_1}{A_2}\cos ({\varphi _2} - {\varphi _1})} \)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Biên độ dao động tổng hợp A được xác định bởi biểu thức:
\(A = \sqrt {A_1^2 + A_2^2 + 2{A_1}{A_2}\cos ({\varphi _2} - {\varphi _1})} \)
Cho hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số, lệch pha nhau một góc π/2 với biên độ A1 và A2. Dao động tổng hợp của hai dao động trên có biên độ là:
-
A
\(\sqrt {\left| {A_1^2 - A_2^2} \right|} \)
-
B
\(\sqrt {A_1^2 + A_2^2} \)
-
C
A1 + A2
-
D
| A1 - A2|
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
Sử dụng công thức tính biên độ dao động tổng hợp của hai dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số:
\(A = \sqrt {A_1^2 + A_2^2 + 2{A_1}{A_2}\cos \Delta \varphi } \)
Khi đó dao động tổng hợp được xác định bởi biểu thức
\(\begin{array}{l}A = \sqrt {A_1^2 + A_2^2 + 2{A_1}{A_2}\cos \Delta \varphi } ;\Delta \varphi = \frac{\pi }{2}\\ = > A = \sqrt {A_1^2 + A_2^2} \end{array}\)
Phát biểu nào sau đây là sai khi nói về biên độ của dao động tổng hợp của hai dao động điều hoà cùng phương cùng tần số ?
-
A
Phụ thuộc vào tần số của hai dao động thành phần.
-
B
Phụ thuộc vào độ lệch pha của hai dao động thành phần.
-
C
Lớn nhất khi hai dao động thành phần cùng pha
-
D
Nhỏ nhất khi hai dao động thành phần ngược pha.
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Sử dụng công thức tính biên độ dao động tổng hợp của hai dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số:
\(A = \sqrt {A_1^2 + A_2^2 + 2{A_1}{A_2}\cos \Delta \varphi } \)
\(A = \sqrt {A_1^2 + A_2^2 + 2{A_1}{A_2}{\rm{cos}}\Delta \varphi } \)
Biên độ của dao động tổng hợp của hai dao động điều hoà cùng phương cùng tần số không phụ thuộc vào tần số của hai dao động thành phần.
Hai dao động điều hòa cùng phương có phương trình lần lượt là \({x_1} = 4\cos \left( {\pi t - \dfrac{\pi }{6}} \right)\left( {cm} \right)\) và \({x_2} = 4\cos \left( {\pi t - \dfrac{\pi }{2}} \right)\left( {cm} \right)\). Dao động tổng hợp của hai dao động này có biên độ là :
-
A
\(2\sqrt 3 cm\)
-
B
\(2\sqrt 7 cm\)
-
C
\(4\sqrt 7 cm\)
-
D
\(4\sqrt 3 cm\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
Áp dụng công thức tính biên độ của dao động tổng hợp hai dao động cùng tần số:
\(A = \sqrt {A_1^2 + A_2^2 + 2{A_1}{A_2}{\rm{cos}}\Delta \varphi } \)
Biên độ dao động tổng hợp:
\({A^2} = A_1^2 + A_2^2 + 2{{\rm{A}}_1}{A_2}\cos \Delta \varphi \)
\( \Leftrightarrow A = \sqrt {{4^2} + {4^2} + 2.4.4.\cos \left| { - \dfrac{\pi }{6} + \dfrac{\pi }{2}} \right|} \)
\( \Leftrightarrow A = \sqrt {48} = 4\sqrt 3 \left( {cm} \right)\)
Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hoà cùng phương cùng tần số có biên độ lần lượt là A1 = 6 cm và A2 = 12 cm. Biên độ dao động tổng hợp A của vật không thể có giá trị nào sau đây ?
-
A
A = 24 cm
-
B
A = 12 cm
-
C
A = 18 cm
-
D
A = 6 cm
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Biên độ dao động tổng hợp thỏa mãn điều kiện:
\(|{A_1} - {A_2}| \le A \le {A_1} + {A_2} \Rightarrow 6 \le A \le 18\)
Biên độ dao động tổng hợp A của vật không thể là 24cm
Hai dao động thành phần có biên độ là 4cm và 12cm. Biên độ dao động tổng hợp có thể nhận giá trị:
-
A
3 cm
-
B
48 cm
-
C
9 cm
-
D
4cm
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
Biên độ dao động tổng hợp thỏa mãn điều kiện
\(\left| {{A_1} - {A_2}} \right| \le A \le {A_1} + {A_2} \Leftrightarrow 8 \le A \le 16\)
Vậy chỉ có A = 9cm thỏa mãn điều kiện trên
) Một vật khối lượng m = 500g được gắn vào đầu một lò xo nằm ngang. Vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số lần lượt có phương trình x1=6cos(10t+\(\frac{\pi }{2}\))(cm) và x2 = 8cos10t(cm). Năng lượng dao động của vật nặng bằng
-
A
250J
-
B
2,5J
-
C
25J
-
D
0,25J
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
+ Áp dụng công thức tính biên độ tổng hợp của hai dao động cùng phương, cùng tần số:
\(A = \sqrt {A_1^2 + A_2^2 + 2{A_1}{A_2}c{\rm{os}}\left( {{\varphi _1} - {\varphi _2}} \right)} \)
+ Áp dụng công thức tính năng lượng của con lắc lò dao động điều hoà:
\({\rm{W}} = \frac{1}{2}m{\omega ^2}{A^2}\)
Dao động của vật là tổng hợp hai dao động thành phần, có biên độ :
\(A = \sqrt {A_1^2 + A_2^2 + 2{A_1}{A_2}c{\rm{os}}\left( {{\varphi _1} - {\varphi _2}} \right)} = \sqrt {{6^2} + {8^2}} = 10cm\) = 0,1m
Tần số góc \(\omega \) = 10 rad/s
Vật có m = 500g = 0,5kg.
Năng lượng dao động của vật là:
\({\rm{W}} = \frac{1}{2}m{\omega ^2}{A^2} = \frac{1}{2}.0,{5.10^2}.0,{1^2} = 0,25J\)
Một vật thực hiện đồng thời ba dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số có phương trình \({x_1} = 4c{\rm{os(10}}\pi {\rm{t + }}\frac{\pi }{4})cm\); \({x_2} = 4c{\rm{os(10}}\pi {\rm{t + }}\frac{{7\pi }}{{12}})cm\) và \({x_3} = 6\sin {\rm{(10}}\pi {\rm{t + }}\frac{\pi }{{12}})cm\). Phương trình dao động tổng hợp của vật là:
-
A
\(x = 10{\rm{cos}}\left( {10\pi t + \frac{\pi }{{12}}} \right)cm\)
-
B
\(x = 2\sqrt 3 {\rm{cos}}\left( {10\pi t + \frac{{5\pi }}{{12}}} \right)cm\)
-
C
\(x = 10{\rm{cos}}\left( {10\pi t + \frac{{5\pi }}{{12}}} \right)cm\)
-
D
\(x = 2\sqrt 3 {\rm{cos}}\left( {10\pi t + \frac{\pi }{{12}}} \right)cm\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
Dao động thành phần:
\({x_1} = 4cos(10\pi t + \frac{\pi }{4})(cm)\)
\({x_2} = 4cos(10\pi t + \frac{{7\pi }}{{12}})(cm)\)
\({x_3} = 6\sin (10\pi t + \frac{\pi }{{12}})(cm) = 6c{\rm{os}}(10\pi t - \frac{{5\pi }}{{12}})(cm)\)
Phương trình dao động tổng hợp \(x = {x_1} + {x_2} + {x_3}\)
Ta thấy: \({x_2},{x_3}\) dao động ngược pha nhau
Ta suy ra: \({x_{23}} = {x_2} + {x_3} = 2c{\rm{os}}\left( {10\pi t - \frac{{5\pi }}{{12}}} \right)cm\)
\( \to x = {x_1} + {x_{23}}\)
Độ lệch pha: \(\Delta \varphi = \frac{\pi }{4} + \frac{{5\pi }}{{12}} = \frac{{2\pi }}{3}(ra{\rm{d}})\)
+ Biên độ dao động tổng hợp:
\(\begin{array}{l}A = \sqrt {A_1^2 + A_{23}^2 + 2{A_1}{A_{23}}{\rm{cos}}\Delta \varphi } \\ = \sqrt {{4^2} + {2^2} + 2.4.2{\rm{cos}}\frac{{2\pi }}{3}} = 2\sqrt 3 cm\end{array}\)
+ Pha của dao động tổng hợp:
\(\begin{array}{l}\tan \varphi = \frac{{{A_1}\sin {\varphi _1} + {A_{23}}\sin {\varphi _{23}}}}{{{A_1}{\rm{cos}}{\varphi _1} + {A_{23}}{\rm{cos}}{\varphi _{23}}}}\\ = \frac{{4.\sin \frac{\pi }{4} + 2.\sin \frac{{ - 5\pi }}{{12}}}}{{{\rm{4}}{\rm{.cos}}\frac{\pi }{4} + 2{\rm{cos}}\frac{{ - 5\pi }}{{12}}}} = 2 - \sqrt 3 \\ \to \varphi = {15^0} = \frac{\pi }{{12}}\end{array}\)
=> Phương trình dao động tổng hợp: \(x = 2\sqrt 3 {\rm{cos}}\left( {10\pi t + \frac{\pi }{{12}}} \right)cm\)
Dao động tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương , cùng tần số có phương trình li độ là x = 3cos(πt - 5π/6) (cm). Biết dao động thứ nhất có phương trình li độ là x1 = 5cos(πt + π/6) (cm). Dao động thứ hai có phương trình li độ là:
-
A
x2 = 2cos(πt + π/6) (cm)
-
B
x2 = 8cos(πt - 5π/6) (cm)
-
C
x2 = 2cos(πt - 5π/6) (cm)
-
D
x2 = 8cos(πt + π/6) (cm)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
Ta có x = x1 + x2 => x2 = x – x1
x = 3cos(πt - 5π/6) (cm).
x1 = 5cos(πt+π/6) (cm) => -x1 = 5cos(πt - 5π/6)
=> x2 = 8cos(πt - 5π/6)(cm)
Một vật nhỏ có chuyển động là tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương. Hai dao động này có phương trình là \({x_1} = {A_1}\cos \omega t\) và \({x_2} = {A_2}\cos \left( {\omega t + \frac{\pi }{2}} \right)\). Gọi E là cơ năng của vật. Khối lượng của vật bằng
-
A
\(\frac{E}{{{\omega ^2}\left( {A_1^2 + A_2^2} \right)}}\)
-
B
\(\frac{E}{{{\omega ^2}\sqrt {A_1^2 + A_2^2} }}\).
-
C
\(\frac{{2E}}{{{\omega ^2}\left( {A_1^2 + A_2^2} \right)}}\)
-
D
\(\frac{{2E}}{{{\omega ^2}\sqrt {A_1^2 + A_2^2} }}\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
+ Sử dụng lí thuyết về tổng hợp hai hai động điều hòa cùng tần số
+ Áp dụng biểu thức tính năng lượng dao động điều hòa: \(E = \frac{1}{2}k{A^2}\)
+ Do hai dao động vuông pha nên biên độ dao động tổng hợp là :
\(A = \sqrt {A_1^2 + A_2^2} \)
+ Cơ năng dao động của vật :
\(E = \frac{1}{2}m{\omega ^2}{A^2} = \frac{1}{2}m{\omega ^2}(A_1^2 + A_2^2)\)
=> Khối lượng vật
\(m = \frac{{2E}}{{{\omega ^2}(A_1^2 + A_2^2)}}\)
Cho hai dao động điều hoà với li độ x1 và x2 có đồ thị như hình vẽ. Tổng tốc độ của hai dao động ở cùng một thời điểm có giá trị lớn nhất là:
-
A
140π cm/s
-
B
200π cm/s
-
C
280π cm/s
-
D
20π cm/s.
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
+ Sử dụng lí thuyết về hai dao động điều hoà cùng tần số
+ Áp dụng biểu thức tính vận tốc cực đại: \({v_{m{\rm{ax}}}} = \omega .A\)
Phương trình chất điểm 1 : là \({x_1} = 8\cos \left( {20\pi t - \frac{\pi }{2}} \right)cm\)
Phương trình chất điểm 2 là :
\({x_2} = 6\cos \left( {20\pi t + \pi } \right)cm\)
Hai chất điểm vuông pha :
\( \Rightarrow A = \sqrt {A_1^2 + A_2^2} = 10\)
Vận tốc lớn nhất :
\({v_{m{\rm{ax}}}} = \omega .A = 20\pi .10 = 200\pi cm/s\)
Hai chất điểm dao động trên hai phương song song với nhau và cùng vuông góc với trục \(Ox\) nằm ngang. Vị trí cân bằng của chúng nằm trên \(Ox\) và cách nhau \(15 cm\), phương trình dao động của chúng lần lượt là: \(y_1= 8cos(7πt – π/12)cm\); \(y_2= 6cos(7πt + π/4) cm\). Khoảng cách lớn nhất giữa hai chất điểm gần giá trị nào nhất sau đây:
-
A
20cm
-
B
15cm
-
C
17cm
-
D
18 cm
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
Sử dụng lí thuyết về bài toán khoảng cách giữa hai chất điểm dao động điều hoà: $\Delta d = \left| {{d_1} - {d_2}} \right|$
\({y_1} - {y_2} = 8cos\left( {7\pi t - \dfrac{\pi }{{12}}} \right) - 6cos\left( {7\pi t + \dfrac{\pi }{4}} \right)\)
+ Cách 1: Tổng hợp dao động
\(\begin{array}{l}{y_1} - {y_2} = 8cos\left( {7\pi t - \dfrac{\pi }{{12}}} \right) - 6cos\left( {7\pi t + \dfrac{\pi }{4}} \right)\\ = 8cos\left( {7\pi t - \dfrac{\pi }{{12}}} \right) + 6cos\left( {7\pi t + \dfrac{\pi }{4} + \pi } \right)\end{array}\)
Biên độ dao động tổng hợp: \(A = \sqrt {{8^2} + {6^2} + 2.8.6cos\left( {\pi + \dfrac{\pi }{4} - \left( { - \dfrac{\pi }{{12}}} \right)} \right)} = \sqrt {52} cm\)
\( \Rightarrow {y_1} - {y_2} = \sqrt {52} cos\left( {7\pi t + \varphi } \right)\)
+ Cách 2: Sử dụng máy tính
Bấm \(8\angle - \dfrac{\pi }{{12}} - 6\angle \dfrac{\pi }{4}\) SHIFT 2 3 = \(2\sqrt {13} \angle - 1,066\)
\( \Rightarrow {y_1} - {y_2} = 2\sqrt {13} cos\left( {7\pi t +\varphi} \right)\)
Ta có:
Khoảng cách giữa hai chất điểm: \(d = \sqrt {{{\left( {{y_1} - {y_2}} \right)}^2} + {{15}^2}} \)
Lại có \((y_1-y_2)_{max}=\sqrt{52} =2\sqrt{13}cm\)
=> Khoảng cách lớn nhất giữa hai chất điểm là \(d=\sqrt {52 + {{15}^2}} = 16,6cm\)
Hai con lắc lò xo giống hệt nhau được treo vào hai điểm ở cùng độ cao, cách nhau 3cm. Kích thích cho hai con lắc dao động điều hòa theo phương thẳng đứng với phương trình lần lượt là \({x_1} = 3c{\rm{os}}\left( {\omega t} \right)\) và \({x_2} = 6c{\rm{os}}\left( {\omega t + \frac{\pi }{3}} \right)cm\). Trong quá trình dao động, khoảng cách lớn nhất giữa hai vậ nhỏ của các con lắc bằng:
-
A
9cm
-
B
6cm
-
C
5,2cm
-
D
8,5cm
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
Ta có: Khoảng cách giữa hai vật nhỏ của con lắc bằng:
\(d = \sqrt {{3^2} + {{\left| {{x_1} - {x_2}} \right|}^2}} \)
Ta có:
\({x_1} - {\rm{ }}{x_2} = 3c{\rm{os}}\left( {\omega t} \right) - 6c{\rm{os}}\left( {\omega t + \frac{\pi }{3}} \right) = 3c{\rm{os}}\left( {\omega t} \right) + 6c{\rm{os}}\left( {\omega t + \frac{\pi }{3} + \pi } \right)\)
Biên độ tổng hợp: của x1 - x2 là
\({A^2} = {3^2} + {6^2} + 2.3.6.c{\rm{os(}}\pi {\rm{ + }}\frac{\pi }{3}) \to A \approx 5,2cm\)
\({d_{max}} \leftrightarrow {\left| {{x_1} - {x_2}} \right|_{{\rm{max}}}} = A \to {d_{max}} = \sqrt {{3^2} + {{(5,2)}^2}} = 6cm\)
Một vật có khối lượng không đổi, thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa có phương trình dao động lần lượt là \({x_1} = {\rm{ }}10cos\left( {2pt{\rm{ }} + {\rm{ }}\varphi } \right)\) cm và \({x_2} = {A_2}cos(2\pi t - \dfrac{\pi }{2})cm\) thì dao động tổng hợp là \(x = Acos(2\pi t - \dfrac{\pi }{3})cm\). Khi năng lượng dao động của vật cực đại thì biên độ dao động A2 có giá trị là
-
A
\(20/\sqrt 3 \)cm
-
B
\(10\sqrt 3 \) cm
-
C
\(10/\sqrt 3 \) cm
-
D
\(20\) cm
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
Sử dụng giản đồ vectơ
\(\begin{array}{l}\dfrac{{10}}{{\sin 30}} = \dfrac{{{A_2}}}{{\sin (60 + \varphi )}} = \dfrac{A}{{\sin (90 - \varphi )}}\\ \Rightarrow A = \dfrac{{10\sin (90 - \varphi )}}{{\sin 30}}\end{array}\)
Năng lượng dao động cực đại thì \({A_{max}} \Rightarrow \sin \left( {90 - \varphi } \right) = 1 \Rightarrow \varphi = 0\)
Khi đó: \(\left\{ \begin{array}{l}A = \dfrac{{10\sin 90}}{{\sin 30}} = 20cm\\{A_2} = \dfrac{{10.\sin 60}}{{\sin 30}} = 10\sqrt 3 cm\end{array} \right.\)
Hai dao động cùng phương lần lượt có phương trình ${x_1} = {A_1}{\rm{cos(}}\pi {\rm{t + }}\frac{\pi }{6})(cm)$ và ${x_2} = 6{\rm{cos(}}\pi {\rm{t - }}\frac{\pi }{2})(cm)$. Dao động tổng hợp của hai dao động này có phương trình $x = A{\rm{cos(}}\pi {\rm{t + }}\varphi$ (cm). Thay đổi A1 cho đến khi A đạt giá trị cực tiểu thì:
-
A
\(\varphi = - \pi /6rad\)
-
B
\(\varphi = \pi rad\)
-
C
\(\varphi = - \pi /3rad\)
-
D
\(\varphi = 0rad\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
Sử dụng giản đồ Fresnen
Ta có:
\(\begin{array}{l}\frac{A}{{\sin 60}} = \frac{6}{{\sin (30 + \varphi )}} = \frac{{{A_1}}}{{\sin (90 - \varphi )}}\\ \Rightarrow A = \frac{{6.\sin 60}}{{\sin (30 + \varphi )}}\end{array}\)
Để Amin thì
$\sin (30 + \varphi )max = 1 \to \varphi = {60^0}$
Vậy dao động tổng hợp có pha ban đầu là - 600
Dao động của một vật là tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương cùng tần số. Biết dao động thứ nhất có biên độ \(A_1= 6 cm\) và trễ pha \(\dfrac{\pi}{2}\) so với dao động tổng hợp. Tại thời điểm dao động thứ hai có li độ bằng biên độ của dao động thứ nhất thì dao động tổng hợp có li độ \(9 cm\). Biên độ dao động tổng hợp bằng:
-
A
\(18 cm\)
-
B
\(12cm\)
-
C
\(9\sqrt 3 \)cm
-
D
\(6\sqrt 3 \)cm
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
Sử dụng giản đồ Fresnen
Dao động tổng hợp: \(x=x_1+x_2\)
Tại thời điểm dao động thứ hai có li độ bằng biên độ của dao động thứ nhất thì dao động tổng hợp có li độ \(9 cm\), ta có: \(x_1+6cm=9cm\)
=> \(x_1= 3cm\)
Dựa vào đề bài ta biểu diễn được các véc tơ dao động như hình bên.
Hai dao động vuông pha nên ta có:
\(\dfrac{{x_1^2}}{{A_1^2}} + \dfrac{{x_{}^2}}{{A_{}^2}} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{{{3^2}}}{{{6^2}}} + \dfrac{{{9^2}}}{{{A^2}}} = 1 \Rightarrow A = 6\sqrt 3 cm\)
Hai chất điểm dao động điều hòa cùng tần số, trên hai đường thẳng song song với nhau và song song với trục ox có phương trình lần lượt là ${x_1} = {\rm{ }}{A_1}cos\left( {\omega t + {\varphi _1}} \right)$ và ${x_2} = {\rm{ }}{A_2}cos\left( {\omega t + {\varphi _2}} \right)$. Giả sử $x{\rm{ }} = {\rm{ }}{x_1} + {\rm{ }}{x_2}$ và $y{\rm{ }} = {\rm{ }}{x_1} - {\rm{ }}{x_2}$. Biết rằng biên độ dao động của x gấp năm lần biên độ dao động của $y$. Độ lệch pha cực đại giữa ${x_1}$ và ${x_2}$ gần với giá trị nào nhất sau đây?
-
A
$53,{14^0}$
-
B
$126,{87^0}$
-
C
$22,{62^0}$
-
D
$143,{14^0}$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
Ta có:
$\begin{array}{l}A_x^2 = A_1^2 + A_2^2 + 2{A_1}{A_2}{\rm{cos(}}{\varphi _1} - {\varphi _2})\\A_y^2 = A_1^2 + A_2^2 - 2{A_1}{A_2}{\rm{cos(}}{\varphi _1} - {\varphi _2})\end{array}$
Mặt khác, ta có:
$\begin{array}{l}{A_x} = 5{A_y}\\ \to A_x^2 = 25A_y^2\\ \leftrightarrow A_1^2 + A_2^2 + 2{A_1}{A_2}{\rm{cos}}\left( {{\varphi _1} - {\varphi _2}} \right) = 25\left( {A_1^2 + A_2^2 - 2{A_1}{A_2}cos\left( {{\varphi _1} - {\varphi _2}} \right)} \right)\\ \leftrightarrow 52{A_1}{A_2}{\rm{cos(}}{\varphi _1} - {\varphi _2}) = 24A_1^2 + 24A_2^2\\ \to {\rm{cos(}}{\varphi _1} - {\varphi _2}) = \frac{{24A_1^2 + 24A_2^2}}{{52{A_1}{A_2}}} \ge \frac{{2\sqrt {24A_1^2.24A_2^2} }}{{52{A_1}{A_2}}} = \frac{{12}}{{13}}\\ \to \Delta \varphi \le 22,{62^0}\end{array}$
Vậy độ lệch pha cực đại của hai dao động là \(\Delta \varphi = 22,{62^0}\)
Trên mặt phẳng nằm ngang có hai con lắc lò xo. Các lò xo có cùng độ cứng k, cùng chiều dài tự nhiên là 32 cm. Các vật nhỏ A và B có khối lượng lần lượt là m và 4m. Ban đầu, A và B được giữ ở vị trí sao cho lò xo gắn với A bị dãn 8 cm còn lò xo gắn với B bị nén 8 cm. Đồng thời thả nhẹ để hai vật dao động điều hòa trên cùng một đường thẳng đi qua giá I cố định (hình vẽ). Trong quá trình dao động, khoảng cách lớn nhất và nhỏ nhất giữa hai vật có giá trị lần lượt là
-
A
64 cm và 48 cm
-
B
80 cm và 48 cm
-
C
64 cm và 55 cm
-
D
80 cm và 55 cm
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
- Sử dụng lí thuyết về khoảng cách của hai vật dao động điều hoà
- Khảo sát hàm số bậc hai
Phương trình dao động của vật A là
\({x_1} = 8\cos (2\omega t + \pi )\)
Phương trình dao động của vật B là
\({x_2} = 8\cos (\omega t + \pi )\)
Mặt khác
\(AI = 32 - {x_1};BI = 32 + {x_2} = > AB = 64 + {x_2} - {x_1}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}d = {x_2} - {x_1} = 8\cos (\omega t + \pi ) - 8\cos (2\omega t + \pi )\\\cos \omega t = a = > d = 8(\cos 2\omega t - \cos \omega t) = 8(2{a^2} - a - 1)\\f(a) = 2{a^2} - a - 1/\left( { - 1;1} \right)\\f' = 4a - 1,f' = 0 = > a = \frac{1}{4}\end{array}\)
Xét bảng biến thiên sau
Từ bảng biến thiên ta có:
\(\begin{array}{l} - \frac{9}{8} \le f(a) \le 2 = > AB = 64 + d\\ = > 64 + 8.\left( { - \frac{9}{8}} \right) \le AB \le 64 + 8.2\\ = > 55 \le AB \le 80\end{array}\)
Đồ thị li độ theo thời gian của chất điểm 1 (đường x1) và chất điểm 2 (đường x2) như hình vẽ. Biết hai vật dao động trên hai đường thẳng song song kề nhau với cùng một hệ trục toạ độ. Khoảng cách lớn nhất giữa hai vật (theo phương dao động)gần giá trị nào nhất:
-
A
6 cm
-
B
5,82 cm
-
C
3,5 cm
-
D
2,478 cm
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
Sử dụng lí thuyết về phương trình dao động điều hoà và khoảng cách của hai vật dao động điều hòa
Từ đồ thị ta có được
- Hai dao động có cùng chu kì T
- Chất điểm 1:
+ A1 = 4cm
+ Tại t = 0 vật đang ở biên dương
\( \Rightarrow {\varphi _1} = 0rad\)
- Chất điểm 2:
+ A2 = 2cm
+ Tại t = 0 vật qua li độ x = 1cm theo chiều dương
\( \Rightarrow {\varphi _2} = - \frac{\pi }{3}rad\)
- Phương trình dao động của hai dao động là:
\(\begin{array}{l}{x_1} = 4\cos (\omega t)cm\\{x_2} = 2\cos (\omega t - \frac{\pi }{3})cm\end{array}\)
- Khoảng cách của hai vật trong quá trình dao động:
\(d = \left| {{x_1} - {x_2}} \right| = {d_{\max }}\cos (\omega t + \varphi )\)
Với dmax là khoảng cách lớn nhất giữa hai vật trong quá trình dao động
\(d = \left| {{x_1} - {x_2}} \right| = \left| {{x_1} + ( - {x_2})} \right|\)
\({x_2} = 2\cos (\omega t - \frac{\pi }{3})\)nên \( - {x_2} = - 2\cos (\omega t - \frac{\pi }{3}) = 2cos(\omega t - \frac{\pi }{3} + \pi ) = 2cos(\omega t + \frac{{2\pi }}{3})\)
Do đó
\({d_{\max }} = \sqrt {{A_1}^2 + {A_2}^2 + 2{A_1}{A_2}\cos (\Delta \varphi )} = \sqrt {{4^2} + {2^2} + 2.2.4.cos\frac{{2\pi }}{3}} = \) 3,46 cm
Một chất điểm M chuyển động với tốc độ 0,75 m/s trên đường tròn có đường kính bằng 0,5 m. Hình chiếu M’ của điểm M lên đường kính của đường tròn dao động điều hoà. Tại thời điểm t = 0 s, M’ đi qua vị trí cân bằng theo chiều âm. Khi t = 8 s, hình chiếu M’ qua li độ
-
A
– 10,17 cm theo chiều dươn
-
B
– 10,17 cm theo chiều âm
-
C
22,64 cm theo chiều dương
-
D
22,64 cm theo chiều âm
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
Sử dụng vòng tròn lượng giác và các công thức \(\Delta \varphi = \omega .\Delta t\); công thức tốc độ lớn nhất của chất điểm dao động \({v_{\max }} = A.\omega \)
Tần số góc của dao động:
\(\omega = \frac{{{v_{\max }}}}{A} = \frac{{0,75}}{{0,25}} = 3\,\,\left( {rad/s} \right)\)
Tại thời điểm t = 8 s, vật quay được góc:
\(\Delta \varphi = \omega .\Delta t = 3.8 = 24\,\,\left( {rad} \right) = 7,639\pi = 6\pi + 1,639\pi \)
Biểu diễn trên VTLG, ta có:
Từ VTLG, ta thấy tại thời điểm t = 8 s, vật chuyển động theo chiều âm và ở vị trí:
\(x = A.cos0,139\pi = 0,25.cos0,139\pi = 0,2264\,\,\left( m \right) = 22,64\,\,\left( {cm} \right)\)
Một vật dao động là tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có phương trình lần lượt là \({x_1} = 20\cos \left( {\omega t - \pi } \right)\,\,\left( {cm} \right)\) và \({x_2} = {A_2}\cos \left( {\omega t - \frac{\pi }{3}} \right)\,\,\left( {cm} \right)\). Thay đổi A2 để biên độ dao động tổng hợp có giá trị nhỏ nhất, khi đó lệch pha giữa dao động tổng hợp và dao động thành phần x1 là
-
A
\(\frac{{2\pi }}{3}\,\,\left( {rad} \right)\).
-
B
\(\frac{\pi }{6}\,\,\left( {rad} \right)\).
-
C
\(\frac{\pi }{3}\,\,\left( {rad} \right)\).
-
D
\(\frac{{5\pi }}{6}\,\,\left( {rad} \right)\).
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
Sử dụng giản đồ vecto
Định lí hàm cos: \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\)
Ta có giản đồ vecto:
Từ giản đồ vecto, áp dụng định lí hàm cos, ta có:
\(\begin{array}{l}{A^2} = {A_1}^2 + {A_2}^2 + 2{A_1}{A_2}\cos \frac{{2\pi }}{3}\\ \Rightarrow {A^2} = {20^2} + {A_2}^2 - 20{A_2}\end{array}\)
Đặt \(x = {A_2}\), xét hàm số \(f\left( x \right) = {x^2} - 20x + {20^2}\), ta có:
\(f{'_{\left( x \right)}} = 2x - 20\)
Để \({A_{\min }} \Rightarrow {f_{\left( x \right)}}\min \Rightarrow f{'_{\left( x \right)}} = 0 \Rightarrow x = 10 \Rightarrow {A_2} = 10\,\,\left( {cm} \right)\)
Khi đó, \({A_{\min }} = 10\sqrt 3 \,\,\left( {cm} \right)\)
Ta có: \(\cos \varphi = \frac{{{A_1}^2 + {A^2} - {A_2}^2}}{{2A.{A_1}}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \varphi = \frac{\pi }{6}\)
Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số, biên độ \(A_1 = 4 cm\) và \(A_2 = 3 cm.\) Biên độ dao động tổng hợp đạt giá trị cực đại là
-
A
\(7 cm.\)
-
B
\(9 cm.\)
-
C
\(5 cm.\)
-
D
\(12 cm.\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Biên độ dao động tổng hợp:
\(A = \sqrt {A_1^2 + A_2^2 + 2{A_1}{A_2}.cos\Delta \varphi } \)
Khi \(\Delta \varphi = 2k\pi \Rightarrow {A_{\max }} = {A_1} + {A_2}\)
Khi \(\Delta \varphi = \left( {2k + 1} \right)\pi \Rightarrow {A_{\min }} = \left| {{A_1} - {A_2}} \right|\)
Biên độ dao động tổng hợp đạt giá trị cực đại là:
\({A_{\max }} = {A_1} + {A_2} = 4 + 3 = 7cm\)
Một vật có khối lượng m = 200g thực hiện đồng thời hai dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số và có các phương trình dao động là \({x_1} = 6.cos\left( {15t} \right)\,\left( {cm} \right)\) và \({x_2} = {A_2}.cos\left( {15t + \pi } \right)\,\left( {cm} \right)\). Biết cơ năng dao động của vật là \(W=0,05625J\). Biên độ \({A_2}\) nhận giá trị nào trong những giá trị sau:
-
A
4cm.
-
B
3cm.
-
C
6cm.
-
D
1cm.
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
Biên độ của dao động tổng hợp: \(A = \sqrt {A_1^2 + A_2^2 + 2.{A_1}{A_2}.cos\Delta \varphi } \)
Cơ năng: \(W = \dfrac{1}{2}m{\omega ^2}{A^2}\)
Cơ năng dao động của vật:
\(\begin{array}{l}W = \dfrac{1}{2}m{\omega ^2}{A^2} \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}.0,{2.15^2}.{A^2} = 0,05625\\ \Rightarrow A = 0,05m = 5cm\end{array}\)
Hai dao động ngược pha nên biên độ của dao động tổng hợp là:
\(A = \left| {{A_1} - {A_2}} \right| \Leftrightarrow 5 = \left| {6 - {A_2}} \right| \Rightarrow {A_2} = 1cm\)
Hai dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số có biên độ và pha ban đầu lần lượt là A1, A2, φ1, φ2. Dao động tổng hợp của hai dao động trên có biên độ được tính theo công thức
-
A
\(A = \sqrt {{A_1}^2 + {A_2}^2 - 2{A_1}{A_2}\cos \left( {{\varphi _1} - {\varphi _2}} \right)} \).
-
B
\(A = \sqrt {{A_1}^2 + {A_2}^2 + 2{A_1}{A_2}\cos \left( {{\varphi _1} - {\varphi _2}} \right)} \).
-
C
\(A = \sqrt {{A_1}^2 + {A_2}^2 + 2{A_1}{A_2}\sin \left( {{\varphi _1} - {\varphi _2}} \right)} \).
-
D
\(A = \sqrt {{A_1}^2 + {A_2}^2 + 2{A_1}{A_2}\sin \left( {{\varphi _1} - {\varphi _2}} \right)} \).
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
Biên độ dao động tổng hợp: \(A = \sqrt {{A_1}^2 + {A_2}^2 + 2{A_1}{A_2}\cos \left( {{\varphi _1} - {\varphi _2}} \right)} \)
Biên độ tổng hợp của hai dao động là:
\(A = \sqrt {{A_1}^2 + {A_2}^2 + 2{A_1}{A_2}\cos \left( {{\varphi _1} - {\varphi _2}} \right)} \)
Cho một vật có khối lượng m = 200 g tham gia đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số với phương trình lần lượt là \({x_1} = \sqrt 3 \sin \left( {20t + \dfrac{\pi }{2}} \right)\,\,cm\) và \({x_2} = 2\cos \left( {20 t + \dfrac{{5\pi }}{6}} \right)\,\,cm\). Độ lớn của hợp lực tác dụng lên vật tại thời điểm \(t = \dfrac{\pi }{{120}}\,\,s\) là
-
A
0,4 N.
-
B
20 N.
-
C
40 N.
-
D
0,2 N.
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Sử dụng máy tính bỏ túi để tìm biên độ dao động tổng hợp
Hợp lực tác dụng lên vật: \(F = \left| { - kx} \right| = \left| { - m{\omega ^2}x} \right|\)
Ta có phương trình dao động:
\({x_1} = \sqrt 3 \sin \left( {20t + \dfrac{\pi }{2}} \right) = \sqrt 3 \cos \left( {20t} \right)\)
Sử dụng máy tính bỏ túi, ta có:
\(\begin{array}{l}\sqrt 3 \angle 0 + 2\angle \dfrac{{5\pi }}{6} = 1\angle \dfrac{\pi }{2} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}A = 1\,\,\left( {cm} \right)\\\varphi = \dfrac{\pi }{2}\,\,\left( {rad} \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow x = 1\cos \left( {20t + \dfrac{\pi }{2}} \right)\,\,\left( {cm} \right)\end{array}\)
Tại thời điểm \(\dfrac{\pi }{{120}}\,\,s\), li độ của vật là:
\(x = \cos \left( {20.\dfrac{\pi }{{120}} + \dfrac{\pi }{2}} \right) = - 0,5\,\,\left( {cm} \right) = - 0,005\,\,\left( m \right)\)
Hợp lực tác dụng lên vật có độ lớn là:
\(F = \left| { - m{\omega ^2}x} \right| = \left| { - 0,{{2.20}^2}.0,005} \right| = 0,4\,\,\left( N \right)\)
Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa có phương trình là \({x_1} = 5\cos \left( {\omega t + \varphi } \right)\,\,\left( {cm} \right)\) và \({x_2} = {A_2}\cos \left( {\omega t - \dfrac{\pi }{4}} \right)\,\,\left( {cm} \right)\) thì dao động tổng hợp có phương trình là \(x = A\cos \left( {\omega t - \dfrac{\pi }{{12}}} \right)\,\,\left( {cm} \right)\). Thay đổi \({A_2}\) để \(A\) có giá trị bằng một nửa giá trị cực đại mà nó có thể đạt được thì \({A_2}\) có giá trị là
-
A
\(\dfrac{5}{{\sqrt 3 }}\,\,cm\).
-
B
\(\dfrac{{10}}{{\sqrt 3 }}\,\,cm\).
-
C
\(5\sqrt 3 \,\,cm\).
-
D
\(10\sqrt 3 \,\,cm\).
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
Sử dụng phương pháp giản đồ vecto
Định lí hàm sin: \(\dfrac{a}{{\sin A}} = \dfrac{b}{{\sin B}} = \dfrac{c}{{\sin C}}\)
Định lí hàm cos: \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\)
Ta có giản đồ vecto:
Áp dụng định lí hàm sin, ta có:
\(\dfrac{A}{{\sin \alpha }} = \dfrac{{{A_1}}}{{\sin \dfrac{\pi }{6}}} \Rightarrow \dfrac{A}{{\sin \alpha }} = \dfrac{5}{{\sin \dfrac{\pi }{6}}} = 10 \Rightarrow A = 10\sin \alpha \)
Biên độ dao động tổng hợp đạt cực đại:
\({A_{\max }} \Leftrightarrow {\left( {\sin \alpha } \right)_{\max }} = 1 \Rightarrow A = 10\,\,\left( {cm} \right)\)
Theo đề bài ta có: \(A = \dfrac{{{A_{\max }}}}{2} = 5\,\,\left( {cm} \right)\)
Áp dụng định lí hàm cos, ta có:
\(\begin{array}{l}{A_1}^2 = {A_2}^2 + {A^2} - 2A.{A_2}\cos \dfrac{\pi }{6}\\ \Rightarrow {5^2} = {A_2}^2 + {5^2} - 2.5.{A_2}.cos\dfrac{\pi }{6}\\ \Rightarrow {A_2}^2 - 5\sqrt 3 {A_2} = 0 \Rightarrow {A_2} = 5\sqrt 3 \,\,\left( {cm} \right)\end{array}\)