Đề bài
Cho đoạn thẳng AB = 2a. Từ trung điểm O của AB vẽ Ox vuông góc với AB. Trên Ox lấy điểm D sao cho \(OD = \dfrac{a}{2}\). Từ B vẽ BC vuông góc với AD kéo dài.
a) Tính AD, AC và BC theo a.
b) Kéo dài DO một đoạn OE = a. Chứng minh bốn điểm A, C, B, E cùng nằm trên một đường tròn.
c) Vẽ đường vuông góc với BC tại B cắt CE tại F. Tính BF.
d) Gọi P là giao điểm của AB và CE. Tính AP và BP.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Áp dụng định lý Pythagore và sử dụng tỉ số đồng dạng để tính.
b) Chứng minh bốn điểm A, C, B, E cùng cách đều một điểm
c) Tính góc FCB từ đó dựa vào tam giác BCF vuông tại B để tính BF
d) Tìm tổng và tỉ số của AP và BP dựa vào tam giác đồng dạng.
Lời giải chi tiết
a) Tính AD, AC và BC theo a.
Ta có O là trung điểm của AB \( \Rightarrow \) OA = OB = \(\dfrac{1}{2}\)AB = a
Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác ADO vuông tại O:
\(A{D^2} = O{A^2} + O{D^2}\)\(\, = {a^2} + {\left( {\dfrac{a}{2}} \right)^2} = \dfrac{{5{a^2}}}{4} \)
\(\Rightarrow AD = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}\)
Xét tam giác ADO và tam giác ABC có:
+) \(\widehat A\) chung;
+) \(\widehat {AOD} = \widehat {ACB} = {90^o}\)
\( \Rightarrow \) Tam giác ADO và tam giác ABC đồng dạng (g.g)
\( \Rightarrow \)\(\dfrac{{OA}}{{AC}} = \dfrac{{OD}}{{BC}} = \dfrac{{AD}}{{AB}} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}}}{{2a}} = \dfrac{{\sqrt 5 }}{4}\)
\( \Rightarrow \)\(AC = \dfrac{{4OA}}{{\sqrt 5 }} = \dfrac{{4a}}{{\sqrt 5 }}\) ; \(BC = \dfrac{{4OD}}{{\sqrt 5 }} = \dfrac{{2a}}{{\sqrt 5 }}\)
b) Kéo dài DO một đoạn OE = a. Chứng minh bốn điểm A, C, B, E cùng nằm trên một đường tròn.
Ta có O là trung điểm của AB
\( \Rightarrow \) CO là trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác ABC vuông tại C
\( \Rightarrow \)OC = a
\( \Rightarrow \) OA = OB = OC = OE = a
\( \Rightarrow \)A, C, B, E cùng nằm trên đường tròn tâm O bán kính a.
c) Vẽ đường vuông góc với BC tại B cắt CE tại F. Tính BF.
Có OA = OE = a \( \Rightarrow \Delta \)OAE vuông cân tại O \( \Rightarrow \widehat {EAB} = {45^o}\)
Ta có A, C, B, E cùng nằm trên đường tròn tâm O (cmt)
\( \Rightarrow \)AEBC là tứ giác nội tiếp \( \Rightarrow \widehat {ECB} = \widehat {EAB} = {45^o}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung EB)
Xét \(\Delta \)BCF vuông tại B có \(\widehat {FCB} = {45^o}\) \( \Rightarrow \)\(\Delta \) BCF vuông cân tại B
\( \Rightarrow \) BF = BC = \(\dfrac{{2a}}{{\sqrt 5 }}\)
d) Gọi P là giao điểm của AB và CE. Tính AP và BP.
Ta có AC // BF (cùng vuông góc với BC)
\( \Rightarrow \widehat {PBF} = \widehat {PAC}\)(so le trong) mà \(\widehat {APC} = \widehat {BPF} \) (đối đỉnh)
\( \Rightarrow \) Tam giác PAC đồng dạng với tam giác PBF (g.g)
\( \Rightarrow \)\(\dfrac{{AP}}{{BP}} = \dfrac{{AC}}{{BF}} = \dfrac{{4a}}{{\sqrt 5 }}:\dfrac{{2a}}{{\sqrt 5 }} = 2\)
\(\Rightarrow AP = 2BP\)
Mà AP + BP = AB = 2a
\( \Rightarrow \) 3BP = 2a \( \Rightarrow \) BP = \(\dfrac{{2a}}{3}\)\( \Rightarrow \) AP = \(\dfrac{{4a}}{3}\)
soanvan.me