Đề bài
Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 53 cm. C là một điểm trên đường tròn sao cho AC = 45 cm. Gọi H là hình chiếu của C trên AB. Tính BC, AH, BH, CH và OH.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+) Sử dụng định lý về góc nội tiếp chắn nửa đường tròn để chứng minh tam giác ABC vuông tại C từ đó áp dụng định lý Pythagore và hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính BC, AH, BH, CH.
+) Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác OHC vuông tại H để tính OH.
Lời giải chi tiết
Ta có C là một điểm trên đường tròn tâm O đường kính AB
\( \Rightarrow \widehat {ACB} = {90^o}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác ABC vuông tại C:
\(B{C^2} = A{B^2} - A{C^2} \)\(\,= {53^2} - {45^2} = 784 \)
\(\Rightarrow BC = 28\) (cm)
H là hình chiếu của C trên AB \( \Rightarrow CH \bot AB\)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC đường cao CH:
\(A{C^2} = AH.AB\)
\(\Rightarrow AH = \dfrac{{A{C^2}}}{{AB}} = \dfrac{{{{45}^2}}}{{53}} = \dfrac{{2025}}{{53}}\) (cm)
\(BH = AB - AH = 53 - \dfrac{{2025}}{{53}}\)\(\, = \dfrac{{784}}{{53}}\)(cm)
\(C{H^2} = AH.BH = \dfrac{{2025}}{{53}}.\dfrac{{784}}{{53}} \)\(\,= \dfrac{{{{45}^2}{{.28}^2}}}{{{{53}^2}}} \)
\(\Rightarrow CH = \dfrac{{1260}}{{53}}\) (cm)
Có đường tròn tâm O đường kính AB = 53 cm \( \Rightarrow \) bán kính R = \(\dfrac{{53}}{2}\) cm
Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác OHC vuông tại H:
\(O{H^2} = O{C^2} - C{H^2} \)\(\,= {\left( {\dfrac{{53}}{2}} \right)^2} - \dfrac{{{{45}^2}{{.28}^2}}}{{{{53}^2}}} \)
\(\Rightarrow OH = \dfrac{{1241}}{{106}}\)(cm)
soanvan.me