Đề bài

Cho điểm P ở ngoài đường tròn (O). Vẽ đường tròn tâm (P) bán kính PO. Hai đường tròn cắt nhau tại A và B. Đường thẳng OP cắt đường tròn (P) tại điểm thứ hai C.

a) Chứng minh CA là tiếp tuyến của đường tròn (O).

b) Lấy điểm D thuộc cung  BCA của đường tròn (P). Chứng minh DO là phân giác của \(\widehat {ADB}\) .

c) Gọi I là giao điểm của đoạn thẳng OD với đường tròn (O). Chứng minh AI là phân giác của \(\widehat {BAD}\) .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Chứng minh AC vuông góc với OA tại A.

b) Sử dụng định lítrong một đường tròn, hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau thì bằng nhau), chứng minh \(\widehat {ODA} = \widehat {ODB}\).

c) Chứng minh BI là phân giác của \(\widehat {ABE}\).

Lời giải chi tiết

 

a) Xét đường tròn \(\left( P \right)\) có \(\widehat {OAC} = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \( \Rightarrow AC \bot OA\) tại A.

\( \Rightarrow CA\)là tiếp tuyến của đường tròn (O).

b) Ta có \(OA = OB \Rightarrow cung\,OA = cung\,OB\) (hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau)

\( \Rightarrow \widehat {ODA} = \widehat {ODB}\) (trong đường tròn \(\left( P \right)\), hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau thì bằng nhau).

Vậy DO là phân giác của \(\widehat {ADB}\).

c) Gọi E là giao điểm của BD và đường tròn \(\left( O \right)\).

Chứng minh tương tự ta có CB là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\).

\( \Rightarrow \widehat {CBE} = \widehat {BAE}\) (Góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung BE của \(\left( O \right)\)).

Mà \(\widehat {CBE} = \widehat {CAD}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CD của đường tròn \(\left( P \right)\))

\( \Rightarrow \widehat {BAE} = \widehat {CAD} \)

\(\Rightarrow \widehat {BAE} + \widehat {EAD} = \widehat {CAD} + \widehat {EAD}\)

\(\Rightarrow \widehat {BAC} = \widehat {EAD}\) (1).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\widehat {BAC} + \widehat {ABC} + \widehat {ACB} = {180^0}\\\widehat {EAD} + \widehat {AED} + \widehat {ADE} = {180^0}\end{array}\)  (tổng ba góc của tam giác).

Mà \(\widehat {BAC} = \widehat {EAD}\,\,\left( {cmt} \right);\,\,\widehat {ACB} = \widehat {ADE}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB của \(\left( O \right)\))

\( \Rightarrow \widehat {ABC} = \widehat {AED}\) (2).

Ta có: OA = OB; PA = PB \( \Rightarrow PO\) là trung trực của AB (điểm cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng thuộc trung trực của đoạn thẳng đó)

Mà \(C \in PO \Rightarrow CA = CB \Rightarrow \Delta ABC\) cân tại C \( \Rightarrow \widehat {BAC} = \widehat {ABC}\) (3)

Từ (1), (2) và (3) \( \Rightarrow \widehat {EAD} = \widehat {AED}\) \( \Rightarrow \Delta AED\) cân tại D.

\( \Rightarrow \) Phân giác DO đồng thời là trung trực của AE.

Mà  (hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau).

Xét đường tròn (O) có :  (trong một đường tròn, hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau thì bằng nhau) \( \Rightarrow \) BI là phân giác của \(\widehat {ABE}\).

Xét tam giác ABD có :

DO là phân giác của \(\widehat {ADB}\).

BI là phân giác của \(\widehat {ABE}\).

\(DO \cap BI = I\)

\( \Rightarrow AI\) là phân giác của \(\widehat {BAD}\,\,\left( {dpcm} \right)\).

 soanvan.me