Đề bài
Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O) kẻ tiếp tuyến MA và cát tuyến MCB tới đường tròn (C nằm giữa M và B). Phân giác của góc \(\widehat {BAC}\) cắt BC tại D và cắt đường tròn (O) tại N. Chứng minh:
a) MA = MD
b) \(M{A^2} = MC.MB\)
c) \(N{B^2} = NA.ND\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Chứng minh \(\widehat {ADC}\)và \(\widehat {MAN}\) cùng bằng \(\dfrac{1}{2}sd\,cung\,AN\). Từ đó suy ra tam giác MAD cân tại M.
b) Chứng minh tam giác MAC và tam giác MBA đồng dạng.
c) Chứng minh tam giác NBA và tam giác NDB đồng dạng.
Lời giải chi tiết
a) Ta có \(\widehat {ADC}\) là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn \( \Rightarrow \widehat {ADC} = \dfrac{{sd\,cung\,AC + sd\,cung\,BN}}{2}\).
Mà \(\widehat {BAN} = \widehat {CAN}\)(AN là tia phân giác của \(\widehat {BAC}\)) \( \Rightarrow sd\widehat {BN} = sd\,cung\,CN\) (hai góc nội tiếp bằng nhau chắn 2 cung bằng nhau).
\( \Rightarrow \widehat {ADC} = \dfrac{{sd\,cung\,AC + sd\,cung\,CN}}{2}\)\(\; = \dfrac{1}{2}sd\,cung\,AN\).
Lại có \(\widehat {MAN} = \dfrac{1}{2}sd\,cung\,AN\) (số đo góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo cung bị chắn),
\( \Rightarrow \widehat {ADC} = \widehat {MAN} \Rightarrow \Delta MAD\) cân tại M \( \Rightarrow MA = MD\).
b) Xét tam giác MAC và tam giác MBA có:
\(\widehat M\) chung;
\(\widehat {MAC} = \widehat {MBA}\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AC)
\( \Rightarrow \Delta MAC\) đồng dạng \(\Delta MBA\) (g.g)
\( \Rightarrow \dfrac{{MA}}{{MB}} = \dfrac{{MC}}{{MA}} \) \(\Rightarrow M{A^2} = MB.MC\).
cc) Xét tam giác NBA và tam giác NDB có:
+) \(\widehat N\) chung;
+) \(sd\widehat {BN} = sd\,cung\,CN\) \( \Rightarrow \widehat {NAB} = \widehat {NBD}\) (trong 1 đường tròn, hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau thì bằng nhau);
\( \Rightarrow \Delta NBA \sim \Delta NDB\,\,\left( {g.g} \right)\) \( \Rightarrow \dfrac{{NB}}{{ND}} = \dfrac{{NA}}{{NB}}\) \( \Rightarrow N{B^2} = NA.ND\).
soanvan.me