Đề bài
Giải bài toán dân gian sau:
Em đi chợ phiên
Anh gửi một tiền
Cam, thanh yên, quýt
Không nhiều thỉ ít
Mua đủ một trǎm
Cam ba đồng một
Quýt một đồng năm
Thanh yên tươi tôt
Năm đồng một trái.
Hỏi mỗi thứ mua bao nhiêu trái, biết một tiển bằng 60 đồng?
Lời giải chi tiết
Gọi số quả Cam, thanh yên, quýt lần lượt là x, y, z (\(x,y,z \in \mathbb{N}*\))
“Mua đủ một trǎm” tức là \(x + y + z = 100\)
“Cam ba đồng một” => giá một quả cam là 3 đồng
“Quýt một đồng năm” => giá một quả quýt là \(\frac{1}{5} = 0,2\) đồng
Thanh yên giá 5 đồng/quả.
Tổng số tiền là 1 tiền = 60 đồng nên ta có: \(3x + 0,2y + 5z = 60\)
Ta có hệ phương trình
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y + z = 100\\3x + 0,2y + 5z = 60\end{array} \right.\)
Nhân phương trình thứ nhất với 3 rồi trừ đi phương trình thứ 2 theo từng vế tương ứng ta được
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y + z = 100\\2,8y - 2z = 240\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x + y + z = 100\\1,4y - z = 120\end{array} \right.\)
Từ phương trình thứ hai ta có: \(z = 1,4y - 120\)
Thay vào phương trình thứ nhất ta được \(x = 220 - 2,4y\)
Vì \(x,y,z \in \mathbb{N}*\) nên \(y \vdots 10\) và \(\left\{ \begin{array}{l}1,4y - 120 > 0\\220 - 2,4y > 0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \) \(y \vdots 10\) và \(\frac{{120}}{{1,4}} < y < \frac{{220}}{{2,4}}\) hay \(86 \le y \le 91\).
Do đó \(y = 90 \Rightarrow x = 4,z = 6\)
Vậy người đó đã mua 4 quả cam, 90 quả quýt và 6 quả thanh yên.