Đề bài

Cho hình thang \(ABCD \;(AB // CD)\). Gọi \(M, N, P, Q\) theo thứ tự là trung điểm của \(AB, AC, CD, BD.\)

a) Chứng minh rằng \(MNPQ\) là hình bình hành.

b) Nếu \(ABCD\) là hình thang cân thì tứ giác \(MNPQ\) là hình gì? Vì sao?

c) Hình thang \(ABCD\) có thêm điều kiện gì thì \(MNPQ\) là hình vuông?

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng:

- Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.

- Tứ giác có cặp cạnh đối song song và bằng nhau thì là hình bình hành.

- Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau thì là hình thoi.

Lời giải chi tiết

a) \(M, N, P, Q\) theo thứ tự là trung điểm của \(AB, AC, CD, BD\) nên \(MN\) là đường trung bình của \(\Delta ABC\); \(QP\) là đường trung bình của \(\Delta BCD\).

Suy ra:

\(\begin{array}{l}
MN//BC;MN = \dfrac{1}{2}BC\\
QP//BC;QP = \dfrac{1}{2}BC
\end{array}\)

Xét tứ giác \(MNPQ\) có \(MN // QP\) (cùng song song với \(BC\)); \(MN = QP = \dfrac{1}{2}BC\)

\(⇒ MNPQ\) là hình bình hành (theo dấu hiệu nhận biết hình bình hành).

b) \(M;Q\) lần lượt là trung điểm của \(AB;BD\) nên \(MQ\) là đường trung bình \(\Delta ABD\).

\(\Rightarrow MQ//AD;MQ = \dfrac{1}{2}AD\).

\(ABCD\) là hình thang cân thì \(AD=BC\) do đó \(MN = MQ = \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{1}{2}AD\).

Do đó hình bình hành \(MNPQ\) có hai cạnh kề bằng nhau nên là hình thoi.

c) Gọi \(E\) là giao điểm của \(AD\) và \(BC\).

Khi \(MNPQ\) là hình vuông thì \(MQ\bot MN\) hay \(BC\bot AD\).

Suy ra \(\Delta ECD\) là tam giác vuông tại \(E\).

Lại có \(MNPQ\) là hình vuông thì \(MQ=MN\) suy ra \(AD=BC,\) do đó \(ABCD\) là hình thang cân nên \(\widehat D = \widehat C\) do đó \(\Delta ECD\) là tam giác vuông cân tại \(E\).

Vậy hình thang \(ABCD\) là hình thang cân có \(\widehat D = \widehat C = {45^o}\) thì \(MNPQ\) là hình vuông.

soanvan.me