Giải các phương trình:
LG a
\(\dfrac{1}{{x - 1}} - \dfrac{{3{x^2}}}{{{x^3} - 1}} = \dfrac{{2x}}{{{x^2} + x + 1}}\)
Phương pháp giải:
Bước 1: Tìm điều kiện xác định.
Bước 2: Qui đồng khử mẫu.
Bước 3: Giải phương trình bằng cách chuyển vế đưa về dạng phương trình tích.
*) Giải phương trình tích: \(A(x).B(x)=0\)
\( \Leftrightarrow A(x) = 0\) hoặc \(B(x) =0\)
Lời giải chi tiết:
Điều kiện xác định: \({x^3} - 1 \ne 0\) tức là \( x ≠ 1\)
Quy đồng mẫu thức:
\(\dfrac{1}{{x - 1}} - \dfrac{{3{x^2}}}{{{x^3} - 1}} = \dfrac{{2x}}{{{x^2} + x + 1}}\)
\( \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2} + x + 1 - 3{x^2}}}{{{x^3} - 1}} = \dfrac{{2x\left( {x - 1} \right)}}{{{x^3} - 1}}\)
Khử mẫu thức, ta được phương trình
\( {x^2} + x + 1 - 3{x^2} = 2x\left( {x - 1} \right) \)
Giải phương trình nhận được:
\(- 2{x^2} + x + 1 = 2{x^2} - 2x\)
\( \Leftrightarrow 0 = 2{x^2} - 2x + 2{x^2} - x - 1\)
\( \Leftrightarrow 0 = 4{x^2} - 3x - 1\)
\(\Leftrightarrow 4{x^2} - 3x - 1 = 0\)
\(\Leftrightarrow 4{x^2} - 4x+x - 1 = 0\)
\(\Leftrightarrow 4x\left( {x - 1} \right) + \left( {x - 1} \right) = 0\)
\(\Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {4x + 1} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x - 1 = 0 \hfill \\
4x + 1 = 0 \hfill \\
\end{gathered} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = 1} \cr {x = - \dfrac{1}{4}}\cr} }\right.\)
Kiểm tra kết quả: Giá trị \(x=1\) bị loại do không thỏa mãn điều kiện xác định, giá trị \({x = - \dfrac{1}{4}}\) thỏa mãn điều kiện xác định.
Kết luận: Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(x = - \dfrac{1}{4}\)
LG b
\(\dfrac{3}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} + \dfrac{2}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x - 1} \right)}} \)\(\,= \dfrac{1}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}}\)
Phương pháp giải:
Bước 1: Tìm điều kiện xác định.
Bước 2: Qui đồng khử mẫu.
Bước 3: Giải phương trình bằng cách chuyển vế đưa về dạng phương trình tích.
*) Giải phương trình tích: \(A(x).B(x)=0\)
\( \Leftrightarrow A(x) = 0\) hoặc \(B(x) =0\)
Lời giải chi tiết:
\(\dfrac{3}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} + \dfrac{2}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x - 1} \right)}} \)\(\,= \dfrac{1}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}}\)
Điều kiện xác định: \(x-1\ne 0;x-2\ne0; x-3\ne0\), tức là \(x ≠ 1, 2, 3\).
Quy đồng mẫu thức:
\(\dfrac{3}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} + \dfrac{2}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x - 1} \right)}} \)\(\,= \dfrac{1}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}}\)
Khử mẫu thức, ta được phương trình:
\( 3\left( {x - 3} \right) + 2\left( {x - 2} \right) = x - 1\)
Giải phương trình nhận được:
\( 3x - 9 + 2x - 4 = x - 1\)
\(⇔ 4x = 12\)
\(⇔ x = 3\)
Kiểm tra kết quả: Giá trị \(x=3\) không thỏa mãn ĐKXĐ.
Vậy phương trình vô nghiệm.
LG c
\(1 + \dfrac{1}{{x + 2}} = \dfrac{{12}}{{8 + {x^3}}}\)
Phương pháp giải:
Bước 1: Tìm điều kiện xác định.
Bước 2: Qui đồng khử mẫu.
Bước 3: Giải phương trình bằng cách chuyển vế đưa về dạng phương trình tích.
*) Giải phương trình tích: \(A(x).B(x)=0\)
\( \Leftrightarrow A(x) = 0\) hoặc \(B(x) =0\)
Lời giải chi tiết:
Điều kiện xác định: \(8 + {x^3} \ne 0\), tức là \( x ≠ -2\).
Quy đồng mẫu thức:
\(1 + \dfrac{1}{{x + 2}} = \dfrac{{12}}{{8 + {x^3}}}\)
\( \Leftrightarrow \dfrac{{8 + {x^3}}}{{8 + {x^3}}} + \dfrac{{{x^2} - 2x + 4}}{{8 + {x^3}}} = \dfrac{{12}}{{8 + {x^3}}}\)
Khử mẫu thức, ta được phương trình:
\( {x^3} + 8 + {x^2} - 2x + 4 = 12 \)
Giải phương trình nhận được:
\({x^3} + {x^2} - 2x = 12 - 8 - 4\)
\(\Leftrightarrow {x^3} + {x^2} - 2x = 0\)
\(\Leftrightarrow x\left( {{x^2} + x - 2} \right) = 0\)
\(\Leftrightarrow x\left[ {{x^2} + 2x - x - 2} \right] = 0\)
⇔\(x[ x(x+2) - (x+2) ] = 0\)
⇔ \(x(x + 2)(x - 1) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x + 2 = 0\\
x - 1 = 0
\end{array} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x = - 2\\
x = 1
\end{array} \right.\)
Kiểm tra kết quả: Giá trị \(x=0;x=1\) thỏa mãn ĐKXĐ; giá trị \(x=-2\) không thỏa mãn ĐKXĐ.
Kết luận: Vậy phương trình có tập nghiệm là \(S = \left\{ {0;1} \right\}\).
LG d
\(\dfrac{{13}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {2x + 7} \right)}} + \dfrac{1}{{2x + 7}}\)\(\, = \dfrac{6}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}\)
Phương pháp giải:
Bước 1: Tìm điều kiện xác định.
Bước 2: Qui đồng khử mẫu.
Bước 3: Giải phương trình bằng cách chuyển vế đưa về dạng phương trình tích.
*) Giải phương trình tích: \(A(x).B(x)=0\)
\( \Leftrightarrow A(x) = 0\) hoặc \(B(x) =0\)
Lời giải chi tiết:
Điều kiện xác định: \(x - 3 \ne 0;x + 3 \ne 0\) và \(2x + 7 \ne 0\), tức là \(x \ne \pm 3,x \ne - 3,5\)
Quy đồng mẫu thức:
\(\dfrac{{13}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {2x + 7} \right)}} + \dfrac{1}{{2x + 7}} \)\(\,= \dfrac{6}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}\)
Khử mẫu thức, ta được phương trình:
\( 13\left( {x + 3} \right) + \left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right) \)\(= 6\left( {2x + 7} \right) \)
Giải phương trình nhận được:
\(13x + 39 + {x^2} - 9 = 12x + 42\)
\(\Leftrightarrow {x^2} + x - 12 = 0\)
\(\Leftrightarrow {x^2} + 4x - 3x - 12 = 0\)
\(\Leftrightarrow x\left( {x + 4} \right) - 3\left( {x + 4} \right) = 0\)
\(\Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {x + 4} \right) = 0\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 3\left( \text{không thỏa mãn} \right)\\
x = - 4\left( \text{thỏa mãn} \right)
\end{array} \right.\)
Kiểm tra kết quả: Giá trị \(x=3\) bị loại vì không thỏa mãn ĐKXĐ, giá trị \(x=-4\) thỏa mãn ĐKXĐ.
Kết luận: Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(x = -4\).
soanvan.me