Đề bài
Cho hình thoi \(ABCD.\) Vẽ đường tròn tâm \(A,\) bán kính \(AD.\) Vẽ đường tròn tâm \(C,\) bán kính \(CB.\) Lấy điểm \(E\) bất kỳ trên đường tròn tâm \(A\) (không trùng với \(B\) và \(D\)), điểm \(F\) trên đường tròn tâm \(C\) sao cho \(BF\) song song với \(DE.\) So sánh hai cung nhỏ \(DE\) và \(BF.\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Ta sử dụng kiến thức:
+) Trong hình thoi, hai đường chéo là các đường phân giác của các góc của hình thoi.
+) Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó.
Lời giải chi tiết
Ta có \((A; AD)\) và \((C; CB)\) có bán kính \(AD = CB\) là cạnh của hình thoi \(ABCD\) nên hai đường tròn đó bằng nhau.
Vì \(AD = AB = CD = CB\)
Suy ra \((A; AD)\) và \((C; CB)\) cắt nhau tại \(B\) và \(D.\)
\(DE // BF\;\; (gt)\)
\( \Rightarrow \widehat {EDB} = \widehat {FBD} \) (so le trong)
\(\Rightarrow \widehat {EDA} + \widehat {ADB} = \widehat {FBC} + \widehat {CBD}\)
Mà \(\widehat {ADB} = \widehat {CBD}\) (tính chất hình thoi)
Suy ra: \(\widehat {EDA} = \widehat {FBC}\) \((1)\)
\(∆ADE\) cân tại \(A\) \( \Rightarrow \widehat {EAD} = {180^0} - 2\widehat {EDA}\) \( (2)\)
\(∆CBF\) cân tại \(C\) \( \Rightarrow \widehat {BCF} = {180^0} - 2\widehat {FBC}\) \( (3)\)
Từ \((1),\) \((2)\) và \((3)\) suy ra: \(\widehat {EAD} = \widehat {BCF}\)
\( sđ \overparen{DE}= \widehat {EAD}\)
\(sđ \overparen{BF}= \widehat {BCF}\)
Vì \((A; AD)\) và \((C; CB)\) bằng nhau nên \(\overparen{DE}= \overparen{BF}\)
soanvan.me