Đề bài
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, ta có \({10^{2n + 1}} + 1\) chia hết cho 11.
Lời giải chi tiết
Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp
Với \(n = 0\) ta có \({10^1} + 1 \vdots 11\)
Vậy khẳng định đúng với \(n = 0\)
Giải sử khẳng định đúng với \(n = k\) tức là ta có \({10^{2k + 1}} + 1\) chia hết cho 11
Ta chứng minh (3) đúng với \(n = k + 1\) tức là chứng minh \({10^{2k + 3}} + 1\) chia hết cho 11
Thật vậy, ta có
\(\begin{array}{l}{10^{2k + 3}} + 1 = {10^{2k + 1}}.100 + 1 = ({10^{2k + 1}} + 1).100 + 1 - 100\\ = ({10^{2k + 1}} + 1).100 + 99\; \vdots 11\end{array}\)
Vì \({10^{2k + 1}} + 1 \vdots 11,\;99 \vdots 11.\)
Vậy khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n.