Đề bài
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên \(n \ge 2\), ta có \({5^n} \ge {3^n} + {4^n}\)
Lời giải chi tiết
Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp
Với \(n = 2\) ta có \({5^2} = {3^2} + {4^2}\)
Vậy BĐT đúng với \(n = 2\)
Giải sử BĐT đúng với \(n = k\) tức là ta có \({5^k} \ge {3^k} + {4^k}\)
Ta chứng minh BĐT đúng với \(n = k + 1\) tức là chứng minh \({5^{k + 1}} \ge {3^{k + 1}} + {4^{k + 1}}\)
Thật vậy, ta có
\({3^{k + 1}} + {4^{k + 1}} = {3.3^k} + {4.4^k} \le 4.\left( {{3^k} + {4^k}} \right) \le {4.5^k} \le {5.5^k} = {5^{k + 1}}\)
Vậy BĐT đúng với mọi số tự nhiên \(n \ge 2\).