Đề bài
Cho tứ diện \(SABC\) có \(D\), \(E\) lần lượt trung điểm \(AC\), \(BC\) và \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\). Mặt phẳng \((\alpha)\) qua \(AC\) cắt \(SE\), \(SB\) lần lượt tại \(M\), \(N\). Một mặt phẳng \((\beta)\) qua \(BC\) cắt \(SD\) và \(SA\) lần lượt tại \(P\) và \(Q\).
a) Gọi \(I = AM \cap DN\), \(J = BP \cap EQ\). Chứng minh bốn điểm \(S\), \(I\), \(J\), \(G\) thẳng hàng.
b) Giả sử \(AN \cap DM = K\), \(BQ \cap EP = L\). Chứng minh ba điểm \(S\), \(K\), \(L\) thẳng hàng.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Để chứng minh ba điểm thẳng hàng ta chứng minh ba điểm đó cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt
Lời giải chi tiết
a)
Ta thấy:
+ \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) \(\Rightarrow G \in BD \Rightarrow G \in BD\).
+ \(I \in DN\) (theo cách dựng hình).
+ \(J \in BP\) (theo cách dựng hình).
\(\Rightarrow S, I, J, G \in (SPN)\)
Tương tự \( S, I, J, G \in (SQM)\)
Vậy \(S, I, J, G\) là điểm chung của \((SPN)\) và \((SQM)\).
b)
Ta thấy:
+ \(S = PD \in EM\)
+ \(K \in DM\)
+ \(L \in PE\)
\(\Rightarrow S, K, L \in (SPM)\)
Tương tự \(S, K, L \in (SQN)\)
Vậy \(S, K, L\) là điểm chung của \((SPM)\) và \((SQN)\).