Đề bài
Cho đường tròn \((O; R)\) và dây cung \(BC = R\). Hai tiếp tuyến của đường tròn \((O)\) tại \(B, C\) cắt nhau tại \(A\). Tính \(\widehat {ABC},\widehat {BAC}\).
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+) Trong một đường tròn, góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn một cung thì có số đo bằng nhau và bằng nửa số đo cung bị chắn.
+) Tổng bốn góc của tứ giác lồi bằng \(360^0\).
Lời giải chi tiết
Cách 1: Tam giác BOC có \(BC = OB = OC = R\)
\(\Rightarrow\) Tam giác \(BOC\) là tam giác đều (Tam giác có 3 cạnh bằng nhau)
Xét \((O)\) ta có: \(\widehat {ABC}\) là góc tạo bởi tia tiếp tuyến \(BA\) và dây cung \(BC\) của \((O)\).
Ta có: sđ \(\overparen{BC}=\widehat {BOC}=60^0\) (góc ở tâm chắn \(\overparen{BC}\) ) và \(\widehat {ABC}= \dfrac {1}{2} sđ\overparen{BC}=30^0\) (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn \(\overparen{BC}\)).
Vì \(AB,AC\) là các tiếp tuyến của đường tròn \((O)\) nên \(\widehat {ABO}=\widehat {ACO}=90^0\)
Xét tứ giác \(OBAC\) có \(\widehat {ABO}+\widehat {ACO}+\widehat {BOC}+\widehat {BAC}=360^0\)
\(\Rightarrow\) \(\widehat {BAC} = {360^0} - \widehat {ABO}-\widehat {ACO}-\widehat {BOC} \)
\(=360^0- {90^0}-90^0 - {60^0} = {120^0}\).
Cách 2:
Tam giác BOC có \(BC = OB = OC = R\)
Suy ra tam giác \(BOC\) là tam giác đều (Tam giác có 3 cạnh bằng nhau) nên \(\widehat {BOC}=60^0\)
sđ \(\overparen{BC}=\widehat {BOC}=60^0\) (góc ở tâm chắn \(\overparen{BC}\) ) và \(\widehat {ABC}= \dfrac {1}{2} sđ\overparen{BC}=30^0\) (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn \(\overparen{BC}\)).
Vì AB, AC là 2 tiếp tuyến của (O), cắt nhau tại A nên AB = AC (Tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)
\(\Rightarrow\) Tam giác ABC cân tại A
\(\Rightarrow\) \(\widehat {ABC}=\widehat {ACB}\)
Xét tam giác ABC có:
\(\widehat {ABC}+\widehat {ACB}+ \widehat {BAC}=180^0\)
\(\Rightarrow \widehat {BAC}= 180^0 - (\widehat {ABC}+\widehat {ACB}) = 180^0-2.\widehat {ABC}=180^0-2. 30^0 = 120^0\)