Đề bài
Cho đường tròn tâm \(O\) đường kính \(AB\). Một tiếp tuyến của đường tròn tại \(P\) cắt đường thẳng \(AB\) tại \(T\) (điểm \(B\) nằm giữa \(O\) và \(T\))
Chứng minh: \(\widehat {BTP} + 2.\widehat {TPB} = {90^0}\).
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+) Trong một đường tròn, góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn một cung thì có số đo bằng nhau và bằng nửa số đo cung bị chắn.
+) Tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông bằng \(90^0\)
Lời giải chi tiết
Cách 1:
Ta có \(\widehat {TPB}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến \(PT\) và dây cung \(PB\) của đường tròn \((O)\) nên \(\widehat {TPB}=\dfrac{1}{2}sđ\overparen{BP}\) (1)
Lại có: \(\widehat {BOP}=sđ\overparen{BP}\) (góc ở tâm chắn \(\overparen{BP}\)) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat {BOP} = 2.\widehat {TPB}\).
Vì \(TP\) là tiếp tuyến của đường tròn \((O)\) nên \( OP \bot TP\). Do đó tam giác \(TPO\) vuông tại T, ta có \(\widehat {BOP} + \widehat {BTP}=90^0.\)
hay \(\widehat {BTP} + 2.\widehat {TPB} = {90^0}\) (đpcm)
Cách 2:
Vì \(\widehat {BAP} = \widehat{BPT}\) ( góc nội tiếp chắn cung và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung \(PB\))
Vì \(\widehat {B_{1}}\) là góc ngoài tại đỉnh B của tam giác BPT nên
\(\widehat {B_{1}} =\widehat {BTP} +\widehat {BPT}\)
\(\Rightarrow \widehat {BAP}+\widehat {B_{1}} =\widehat {BPT}+ \widehat {BTP} +\widehat {BPT}=\widehat {BTP} + 2.\widehat {TPB}\)(3)
Xét đường tròn (O) có: \(\widehat{APB}= 90^0\)( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
\(\Rightarrow\) Tam giác APB vuông tại P
\(\Rightarrow\) \(\widehat {BAP}+\widehat {B_{1}} =90^0\) (4)
Từ (3) và (4) ta có:\(\Rightarrow\) \(\widehat {BTP} + 2.\widehat {TPB} = {90^0}\) (đpcm)