Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) đều các cạnh có độ dài bằng 1. Lấy \(M,\,\,N,\,\,P\) tương ứng thuộc các cạnh \(BC,\,\,CA,\,\,AB\) sao cho \(BM = 2MC,\,\,CN = 2NA\) và \(AM \bot NP.\) Tỉ số của \(\frac{{AP}}{{AB}}\) bằng

A. \(\frac{5}{{12}}\)

B. \(\frac{7}{{12}}\)

C. \(\frac{5}{7}\)

D. \(\frac{7}{5}\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

-  Đặt \(AP = x\) \(\left( {0 < x < 1} \right)\)

-  Biểu diễn các vectơ \(\overrightarrow {PN} \) và \(\overrightarrow {AM} \) theo các vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \)

-  Tìm x dựa vào tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {PN}  = 0\)

Lời giải chi tiết

Đặt \(AP = x\) \(\left( {0 < x < 1} \right)\)

Ta có: \(\overrightarrow {PN}  = \overrightarrow {PA}  + \overrightarrow {AN}  = \frac{1}{3}\overrightarrow {AC}  - x\overrightarrow {AB} \)

Ta có: \(\overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BM}  = \overrightarrow {AB}  + \frac{2}{3}\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AB}  + \frac{2}{3}\left( {\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} } \right) = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB}  + \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} \)

Ta có: \(AM \bot PN\) \( \Rightarrow \) \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {PN}  = 0\)

\( \Leftrightarrow \) \(\left( {\frac{1}{3}\overrightarrow {AB}  + \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} } \right).\left( {\frac{1}{3}\overrightarrow {AC}  - x\overrightarrow {AB} } \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \) \(\frac{1}{9}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  - \frac{x}{3}{\overrightarrow {AB} ^2} + \frac{2}{9}{\overrightarrow {AC} ^2} - \frac{{2x}}{3}\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB}  = 0\)

\( \Leftrightarrow \) \(\frac{1}{9}.\frac{1}{2} - \frac{x}{3} + \frac{2}{9} - \frac{{2x}}{3}.\frac{1}{2} = 0\)

\( \Leftrightarrow \) \(\frac{1}{{18}} - \frac{x}{3} + \frac{2}{9} - \frac{x}{3} = 0\)

\( \Leftrightarrow \) \(1 - 6x + 4 - 6x = 0\)

\( \Leftrightarrow \) \(12x = 5\) \( \Leftrightarrow \) \(x = \frac{5}{{12}}\)

Vậy \(\frac{{AP}}{{AB}} = \frac{5}{{12}}\)

Chọn A.