Đề bài
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho ba điểm \(A( - 2;1),\,\,B(1;4)\) và \(C(5; - 2).\)
a) Chứng minh rằng \(A,\,\,B,\,\,C\) là ba đỉnh của một tam giác. Tìm tọa độ trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABC.\)
b) Tìm tọa độ trực tâm \(H\) và tâm đường tròn ngoại tiếp \(I\) của tam giác \(ABC.\)
Lời giải chi tiết
a) Ta có: \(\overrightarrow {AB} = (3;3)\) và \(\overrightarrow {AC} = (7; - 3)\)
\( \Rightarrow \) \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) không cùng phương
\( \Rightarrow \) ba điểm \(A,\,\,B,\,\,C\) là ba đỉnh của một tam giác
Xét \(\Delta ABC\) có: \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\)
\( \Rightarrow \) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{ - 2 + 1 + 5}}{3} = \frac{4}{3}}\\{y = \frac{{1 + 4 - 2}}{3} = 1}\end{array}} \right.\) \( \Rightarrow \) \(G\left( {\frac{4}{3};1} \right)\)
Vậy tọa độ trọng tâm của tam giác là: \(G\left( {\frac{4}{3};1} \right)\)
b) Gọi \(H(x;y)\) là trực tâm của \(\Delta ABC\)
Ta có: \(\overrightarrow {CH} = (x - 5;y + 2)\) và \(\overrightarrow {BH} = (x - 1;y - 4)\)
\( \Rightarrow \) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {CH} .\overrightarrow {AB} = 0}\\{\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC} = 0}\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3\left( {x - 5} \right) + 3\left( {y + 2} \right) = 0}\\{7\left( {x - 1} \right) - 3\left( {y - 4} \right) = 0}\end{array}} \right.\)
\( \Leftrightarrow \) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y = 3}\\{7x - 3y = - 5}\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{2}{5}}\\{y = \frac{{13}}{5}}\end{array}} \right.\) \( \Rightarrow \) \(H\left( {\frac{2}{5};\frac{{13}}{5}} \right)\)
Gọi \(I(x';y')\) là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\)
Ta có: \(\overrightarrow {IH} = \left( {\frac{2}{5} - x';\frac{{13}}{5} - y'} \right)\) và \(\overrightarrow {IG} = \left( {\frac{4}{3} - x';1 - y'} \right)\)
Ta có: \(\overrightarrow {IH} = 3\overrightarrow {IG} \,\, \Leftrightarrow \,\,\left( {\frac{2}{5} - x';\frac{{13}}{5} - y'} \right) = 3\left( {\frac{4}{3} - x';1 - y'} \right)\)
\( \Leftrightarrow \) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{2}{5} - x' = 4 - 3x'}\\{\frac{{13}}{5} - y' = 3 - 3y'}\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x' = \frac{{18}}{5}}\\{2y' = \frac{2}{5}}\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x' = \frac{9}{5}}\\{y' = \frac{1}{5}}\end{array}} \right.\) \( \Rightarrow \) \(I\left( {\frac{9}{5};\frac{1}{5}} \right)\)
Vậy \(H\left( {\frac{2}{5};\frac{{13}}{5}} \right)\) và \(I\left( {\frac{9}{5};\frac{1}{5}} \right)\).