Đề bài
Cho tam giác \(ABC\) với trọng tâm \(G.\) Lấy điểm \(A',\,\,B'\) sao cho \(\overrightarrow {AA'} = 2\overrightarrow {BC} ,\,\,\overrightarrow {BB'} = 2\overrightarrow {CA} .\) Gọi \(G'\) là trọng tâm của tam giác \(A'B'C.\) Chứng minh rằng \(GG'\) song song với \(AB.\)
Lời giải chi tiết
Ta có: \(G\) và \(G'\) lần lượt là trọng tâm của \(\Delta ABC\) và \(\Delta A'B'C\)
\( \Rightarrow \) \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \) và \(\overrightarrow {G'A'} + \overrightarrow {G'B'} + \overrightarrow {G'C} = \overrightarrow 0 \)
Ta có: \(\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {CC} = 3\overrightarrow {GG'} \)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \,\,2\overrightarrow {BC} + 2\overrightarrow {CA} = 3\overrightarrow {GG'} \\ \Leftrightarrow \,\,2\overrightarrow {BA} = 3\overrightarrow {GG'} \end{array}\)
\( \Rightarrow \) \(AB\)//\(GG'\) (đpcm)