Đề bài

Có hai tàu điện ngầm A và B chạy trong nội đô thành phố củng xuất phát tử hai ga, chuyển động đều theo đường thẳng. Trên màn hình ra đa của trạm điều khiển (được coi như mặt phẳng toạ độ Oxy với đơn vị trên các trục tính theo ki-lô-mét), sau khi xuất phát t (giờ) (t ≥ 0), vị trí của tàu A có toạ độ được xác định bởi công thức: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 7 + 36t\\y =  - 8 + 8t\end{array} \right.\) , vị trí của tàu B có toạ độ là (9 + 8t ; 5 – 36t).

a) Tính côsin góc giữa hai đường đi của hai tàu A và B

b) Sau bao lâu kể từ thời điểm xuất phát hai tàu gần nhau nhất?

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Bước 1: Tìm vectơ chỉ phương của 2 đường thẳng là đường đi của 2 tàu A và B dựa vào PT đường đi của tàu A và tọa độ của tàu B

Bước 2: Tính cosin giữa hai vectơ chỉ phương tìm được ở bước 1 và lấy giá trị dương để tính côsin góc giữa hai đường đi của hai tàu A và B

Bước 3: Tìm tọa độ 2 điểm M, N (tham số hóa tọa độ 2 điểm M, N) ở 2 vị trí mà tàu A và tàu B đến sau khi xuất phát t giờ. Tìm t để MN đạt GTNN

Lời giải chi tiết

a) Tàu A chuyển động theo chiều vectơ \(\overrightarrow {{u_1}}  = (36;8)\); tàu B chuyển động theo chiều vectơ \(\overrightarrow {{u_2}}  = (8; - 36)\)

Ta có: \(\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}}  = 36.8 + 8.( - 36) = 0\)\( \Rightarrow \overrightarrow {{u_1}}  \bot \overrightarrow {{u_2}}  \Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right) = 0\)

Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai đường đi của hai tàu. Khi đó \(\cos \alpha  = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right)} \right| = 0\)

b) Sau t giờ: tàu A ở vị trí điểm \(M(7 + 36t; - 8 + 8t)\); tàu B ở vị trí điểm \(N(9 + 8t;5 - 36t)\)

Ta có: \(\overrightarrow {MN}  = ( - 28t + 2; - 44t + 13) \Rightarrow MN = \sqrt {{{( - 28t + 2)}^2} + {{( - 44t + 13)}^2}} \)

                                               \( \Leftrightarrow M{N^2} = {( - 28t + 2)^2} + {( - 44t + 13)^2} = 2720{t^2} - 1256t + 173\)

Theo giả thiết, MN đạt GTNN \( \Leftrightarrow M{N^2}\) đạt GTNN

Xét \(M{N^2} = 2720{t^2} - 1256t + 173 = 2720{\left( {t - \frac{{157}}{{680}}} \right)^2} + \frac{{4761}}{{170}}\)\( \ge \frac{{4761}}{{170}}\) \( \Rightarrow MN \ge \sqrt {\frac{{4761}}{{170}}} \)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi t = \(\frac{{157}}{{680}}\)

Vậy sau \(\frac{{157}}{{680}}\) giờ thì hai tàu gần nhau nhất và cách nhau một khoảng là 5,29 km