Đề bài
Cho hình bình hành \(ABCD.\) Đường tròn đi qua ba đỉnh \(A, \, B, \, C\) cắt đường thẳng \(CD\) tại \(P\) khác \(C.\) Chứng minh \(AP = AD.\)
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+) Số đo tổng hai góc đối diện của tứ giác nội tiếp bằng \(180^0.\)
+) Sử dụng tính chất hai đường thẳng song song, tính chất hình bình hành.
Lời giải chi tiết
Cách 1:
Do tứ giác \(ABCP\) nội tiếp nên \(\widehat{BAP} + \widehat{BCP} = 180^0.\) (1)
Mà CD // AB nên \(\widehat{ABC}+ \widehat{BCP}= 180^0\) (hai góc trong cùng phía). (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\) \(\widehat{BAP}= \widehat{ABC}.\)
Mà CP // AB (do CD // AB) nên \(ABCP\) là hình thang
Nên \(ABCP\) là hình thang cân (Dấu hiệu nhận biết)
\(\Rightarrow\) \(AP = BC.\) (Tính chất hình thang cân) (3)
Mà \(BC = AD\) (do ABCD là hình bình hành) (4)
Từ (3) và (4) \(\Rightarrow\) \(AP = AD\) (đpcm).
Cách 2:
Vì ABCP là tứ giác nội tiếp nên \(\widehat{ABC}+ \widehat{APC}= 180^0\)
Mà ABCD là hình bình hành nên \(\widehat {ABC} = \widehat {ADC}\) (Tính chất hình bình hành)
Hơn nữa, \(\widehat {APC} + \widehat {APD} = {180^0}\) (2 góc kề bù)
\( \Rightarrow \widehat {APD} = \widehat {ADC}\)
\(\Rightarrow\) Tam giác ADP cân tại A
\(\Rightarrow\) AP = AD (đpcm)