Đề bài
Từ điểm M ở ngoài đường tròn (O), kẻ cát tuyến MAB ( A nằm giữa hai điểm M và B) và các tiếp tuyến MC, MD. Gọi H là giao điểm của OM và CD.
a) Chứng minh : MC2 = MA.MB.
b) Chứng minh tứ giác AHOB nội tiếp.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a.Chứng minh \(∆MAC\) đồng dạng \(∆MCB\)
b.Sử dụng:
+Đường trung trực của đoạn thẳng
+Hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông
+Tam giác đồng dạng
Chứng minh tứ giác AHOB có 1 góc trong bằng góc ngoài tại đỉnh đối diện
Lời giải chi tiết
a) Xét \(∆MAC\) và \(∆MCB\) có:
+) \(\widehat M\) chung,
+) \(\widehat {MCA} = \widehat {MBC}\) ( góc giữa tiếp tuyến một dây và góc nội tiếp cùng chắn cung AC)
Do đó \(∆MAC\) đồng dạng \(∆MCB\) (g.g)
\( \Rightarrow\dfrac {{MA} }{ {MC}} =\dfrac {{MC}}{{MB}} \)
\(\Rightarrow MA.MB = M{C^2}\;\;\;\;(1)\)
b) Dễ thấy MO là đường trung trực của đoạn CD ( vì \(OC = OD = R, MC = MD\)) nên \(MO \bot CD\) tại H.
Trong tam giác vuông MCO có CH là đường cao.
Ta có : \(MO.MH = MC^2 \;\;\; (2)\) ( hệ thức lượng trong tam giác vuông )
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow MA.MB = MO.MH\).
Do đó \(∆MAH\) đồng dạng \(∆MOB\) (g.g) \(\Rightarrow \widehat {MHA} = \widehat {MBO}\) chứng tỏ tứ giác AHOB nội tiếp.
soanvan.me