Bài 7 trang 81 SGK Hình học 12 Nâng cao

Đề bài

Cho hình bình hành ABCD với A(-3 ; -2 ; 0), B(3 ; -3 ; 1), C(5 ; 0 ; 2). Tìm toạ độ đỉnh D và tính góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {BD} \).

Lời giải chi tiết

Ta có \(\overrightarrow {BA}  = \left( { - 6;1; - 1} \right);\overrightarrow {BC}  = \left( {2;3;1} \right)\).

Vì \({{ - 6} \over 2} \ne {1 \over 3} \ne {{ - 1} \over 1}\) nên \(\overrightarrow {BA} \) và \(\overrightarrow {BC} \) không cùng phương nên ba điểm A, B, C không thẳng hàng.

Giả sử \(D\left( {x;y;z} \right)\). Ta có: \(\overrightarrow {AD}  = \left( {x + 3;y + 2;z} \right),\overrightarrow {BC}  = \left( {2;3;1} \right)\)

ABCD là hình bình hành 

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x + 3 = 2\\
y + 2 = 3\\
z = 1
\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = - 1\\
y = 1\\
z = 1
\end{array} \right.\)

Vậy \(D\left( { - 1;1;1} \right)\) .

Ta có \(\overrightarrow {AC}  = \left( {8;2;2} \right)\,;\) \(\overrightarrow {BD}  = \left( { - 4;4;0} \right)\)

Do đó:

\(\cos \left( {\overrightarrow {AC} ;\overrightarrow {BD} } \right) = {{\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD} } \over {AC.BD}} \) \(= {{ - 32 + 8} \over {\sqrt {72} .\sqrt {32} }} =  - {1 \over 2} \) \(\Rightarrow \left( {\overrightarrow {AC} ;\overrightarrow {BD} } \right) = 120^0\).

Chú ý:

Có thể tìm D theo cách khác như sau: 

Giả sử \(D\left( {x;y;z} \right)\) thì \(\overrightarrow {BD}  = \left( {x - 3;y + 3;z - 1} \right)\)
ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi:

\(\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} \) \(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x - 3 = - 6 + 2 \hfill \cr 
y + 3 = 1 + 3 \hfill \cr 
z - 1 = - 1 + 1 \hfill \cr} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = - 1 \hfill \cr 
y = 1 \hfill \cr 
z = 1 \hfill \cr} \right.\)

soanvan.me