Đề bài
Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau:
a) \(d:y - 1 = 0\) và \(k:x - y + 4 = 0\)
b) \(a:\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + t\\y = 2t\end{array} \right.\) và \(b:3x + y + 1 = 0\)
c) \(m:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - t\\y = 2 - \sqrt 3 t\end{array} \right.\) và \(n:\left\{ \begin{array}{l}x = 4 - t'\\y = \sqrt 3 t'\end{array} \right.\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
\(\left( {a;b} \right)\) và \(\left( {c;d} \right)\) cùng là vectơ pháp tuyến hoặc chỉ phương của hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\). Góc giữa hai đường thẳng này được tính thông qua công thức: \(cos\varphi = \frac{{\left| {ac + bd} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} \sqrt {{c^2} + {d^2}} }}\)
Lời giải chi tiết
a) Vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng lần lượt là \(\left( {0;1} \right)\) và \(\left( {1; - 1} \right)\)
\(cos\varphi = \frac{{\left| {1.0 + 1.\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {1^2}} \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow \varphi = {45^ \circ }\)
b) Vectơ chỉ phương của hai đường thẳng lần lượt là \(\left( {1;2} \right)\) và \(\left( {1; - 3} \right)\)
\(cos\varphi = \frac{{\left| {1.1 + 1.\left( { - 3} \right)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2}} \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \frac{2}{{\sqrt 5 \sqrt {10} }} = \frac{1}{2} \Rightarrow \varphi = {60^ \circ }\)
c) Vectơ chỉ phương của hai đường thẳng lần lượt là \(\left( {1;\sqrt 3 } \right)\) và \(\left( {1; - \sqrt 3 } \right)\)
\(cos\varphi = \frac{{\left| {1.1 + \sqrt 3 .\left( { - \sqrt 3 } \right)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}} \sqrt {{1^2} + {{\left( { - \sqrt 3 } \right)}^2}} }} = \frac{2}{{2.2}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \varphi = {60^ \circ }\)