Đề bài
Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho tam giác ABC có \(A\left( {2; - 1} \right),B\left( {2; - 2} \right)\) và \(C\left( {0; - 1} \right)\)
a) Tính độ dài đường cao của tam giác ABC kẻ từ A
b) Tính diện tích tam giác ABC
c) Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+ Độ dài đường cao của tam giác ABC kẻ từ A là khoảng cách từ A đến đường thẳng BC
+ Diện tích ABC là \(S = \frac{1}{2}d\left( {A,BC} \right).BC\)
+ Tính bán kính đường tròn nội tiếp ABC qua công thức \(S = pr\) trong đó p là nửa chu vi tam giác ABC
Lời giải chi tiết
a) Độ dài đường cao của tam giác ABC kẻ từ A là khoảng cách từ A đến đường thẳng BC
+ Viết phương trình đường thẳng BC: có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {BC} = \left( { - 2;1} \right) \Rightarrow \overrightarrow n = \left( {1;2} \right)\) và BC đi qua \(C\left( {0; - 1} \right)\):
\(BC:1\left( {x - 0} \right) + 2\left( {y + 1} \right) = 0 \Rightarrow x + 2y + 2 = 0\)
+ Khoảng cách từ A đến đường thẳng BC là: \(d\left( {A,BC} \right) = \frac{{\left| {2 + 2\left( { - 1} \right) + 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2}} }} = \frac{2}{{\sqrt 5 }}\)
b) \(\overrightarrow {BC} = \left( { - 2;1} \right) \Rightarrow BC = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2}} = \sqrt 5 \)
\(S = \frac{1}{2}d\left( {A,BC} \right).BC = \frac{1}{2}.\frac{2}{{\sqrt 5 }}.\sqrt 5 = 1\)
c) \(S = pr\) với \(p = \frac{{a + b + c}}{2}\)
+ \(a = BC = \sqrt 5 \)
+ \(b = AC = \sqrt {{2^2} + {0^2}} = 2\)
+ \(c = AB = \sqrt {{0^2} + {1^2}} = 1\)
\( \Rightarrow p = \frac{{\sqrt 5 + 1 + 2}}{2} = \frac{{\sqrt 5 + 3}}{2} \Rightarrow r = 1:\frac{{\sqrt 5 + 3}}{2} = \frac{2}{{\sqrt 5 + 3}} = \frac{{3 - \sqrt 5 }}{2}\)