1. Ứng dụng của tích phân trong hình học (diện tích hình phẳng)
Dạng 1: Tính diện tích hình phẳng nếu biết hai đường giới hạn
Phương pháp:
- Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục \(Ox\) và hai đường thẳng \(x = a,x = b\left( {a < b} \right)\) được tính bởi công thức:
\(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \)
- Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right),y = g\left( x \right)\) và hai đường thẳng \(x = a,x = b\left( {a < b} \right)\)được tính bởi công thức:
\(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \)
Dạng 2: Tính diện tích hình phẳng nếu chưa biết hai đường giới hạn
Phương pháp:
- Bước 1: Giải phương trình \(f\left( x \right) = g\left( x \right)\) tìm nghiệm.
- Bước 2: Phá dấu giá trị tuyệt đối của biểu thức \(\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|\)
- Bước 3: Tính diện tích hình phẳng theo công thức tích phân:
\(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \)
Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \dfrac{{x + 1}}{{x - 2}}$ và các trục tọa độ. Chọn kết quả đúng nhất.
A. $3\ln 6$
B. \(3\ln \dfrac{3}{2}\)
C. \(3\ln \dfrac{3}{2} - 2\)
D.\(3\ln \dfrac{3}{2} - 1\)
Giải:
Đồ thị hàm số cắt $Ox$ tại $\left( {-1;0} \right)$, cắt $Oy$ tại $\left( {0; - \dfrac{1}{2}} \right)$.
Hàm số $y = \dfrac{{x + 1}}{{x - 2}}$ có \(y' = \dfrac{{ - 3}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} < 0,\forall x \in \left( { - 1;0} \right)\) nên hàm số $y = \dfrac{{x + 1}}{{x - 2}}$ nghịch biến trên $\left( {-1;0} \right)$.
Do đó \(y < 0,\forall x \in \left( { - 1;0} \right)\)
Do đó $S = \int\limits_{ - 1}^0 {\left| {\dfrac{{x + 1}}{{x - 2}}} \right|} dx = \int\limits_{ - 1}^0 {\left( { - \dfrac{{x + 1}}{{x - 2}}} \right)} dx = - \int\limits_{ - 1}^0 {\left( {1 + \dfrac{3}{{x - 2}}} \right)} dx $
$= - \left( {x + 3\ln \left| {x - 2} \right|\mathop |\nolimits_{ - 1}^0 } \right) = - 3\ln 2 - 1 + 3\ln 3 = 3\ln \dfrac{3}{2} - 1$
Chọn D.
2. Ứng dụng của tích phân trong hình học (thể tích vật thể)
Dạng 1: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng \(\left( H \right)\) giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục \(Ox\) và hai đường thẳng \(x = a,x = b\left( {a < b} \right)\) quanh trục \(Ox\)
Công thức tính:
\(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx} \)
Dạng 2: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng \(\left( H \right)\) giới hạn bởi đồ thị hàm số \(x = f\left( y \right)\), trục \(Oy\) và hai đường thẳng \(y = a,y = b\left( {a < b} \right)\) quanh trục \(Oy\).
Công thức tính:
\(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( y \right)dy} \)
Dạng 3: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng \(\left( H \right)\) giới hạn bởi các đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right),y = g\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {a;b} \right],0 \le f\left( x \right) \le g\left( x \right),\forall x \in \left[ {a;b} \right]\) quay quanh trục \(Ox\)
Công thức tính:
\(V = \pi \int\limits_a^b {\left[ {{g^2}\left( x \right) - {f^2}\left( x \right)} \right]dx} \)
Dạng 4 ( Đọc thêm ): Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi các mặt phẳng \(x = a,x = b\) biết diện tích thiết diện cắt bởi mặt phẳng vuông góc trục $Ox$ là \(S = S\left( x \right)\).
Công thức tính:
\(V = \int\limits_a^b {S\left( x \right)dx} \)
Khi miền \(D\) giới hạn bởi nhiều đồ thị hàm số thì ta nên vẽ hình, sau đó từ hình vẽ suy ra cách tính.
Ví dụ: Cho đường cong \(y = - {x^2} + 1\) và đường thẳng \(y = 0\). Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi hai đường trên quanh \(Ox\).
Ta có: \( - {x^2} + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 1\end{array} \right.\)
Thể tích: \(V = \pi \int\limits_{ - 1}^1 {{{\left( { - {x^2} + 1} \right)}^2}dx} = \pi \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {{x^4} - 2{x^2} + 1} \right)dx} \)
$= \pi \left. {\left( {\dfrac{{{x^5}}}{5} - \dfrac{{2{x^3}}}{3} + x} \right)} \right|_{ - 1}^1 = \dfrac{{16\pi }}{{15}}$.