Đề bài
Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ cạnh đáy bằng a. Lấy điểm B1 thuộc BB’, điểm C1 thuộc CC’. Đặt \(B{B_1} = x,C{C_1} = y\).
a) Tam giác AB1C1 có thể vuông ở A được không? Tìm hệ thức liên hệ giữa a, x, y để AB1C1 là tam giác vuông tại B1.
b) Giả sử AB1C1 là tam giác thường và B1 là trung điểm của BB’, y = 2x và α là góc giữa mp(ABC) và mp(AB1C1). Hãy tính diện tích tam giác AB1C1 và độ dài cạnh bên của hình lăng trụ đã cho.
Lời giải chi tiết
a) ● Tam giác AB1C1 vuông ở A khi và chỉ khi
\({B_1}C_1^2 = AB_1^2 + AC_1^2\)
Mặt khác
\(\eqalign{ & {B_1}C_1^2 = {a^2} + {\left( {x - y} \right)^2} \cr & AB_1^2 = {a^2} + {x^2} \cr & AC_1^2 = {a^2} + {y^2} \cr} \)
Do đó tam giác AB1C1 vuông ở A khi và chỉ khi
\(\eqalign{ & {a^2} + {\left( {x - y} \right)^2} = 2{{\rm{a}}^2} + {x^2} + {y^2} \cr & \Leftrightarrow 2{\rm{x}}y = - {a^2} \cr} \)
Điều này không xảy ra. Vậy tam giác AB1C1 không thể vuông tại A được.
● Tam giác AB1C1 vuông tại B1 khi và chỉ khi
\(\eqalign{ & AC_1^2 = AB_1^2 + {B_1}C_1^2 \cr & \Leftrightarrow {a^2} + {y^2} = {a^2} + {x^2} + {a^2} + {\left( {x - y} \right)^2} \cr & \Leftrightarrow 2{\rm{x}}y = 2{{\rm{x}}^2} + {a^2} \cr} \)
Đó là hệt thức liên hệ giữa a, x, y để tam giác AB1C1 vuông tại B1.
b) Khi B1 là trung điểm của BB’, y = 2x thì C1 trùng với C’.
Gọi \(I = BC \cap {B_1}C'\) thì \(AI = \left( {A{B_1}C'} \right) \cap \left( {ABC} \right)\).
Vì \({B_1}B = {1 \over 2}BB'\) nên BI = BC, từ đó ta có IAC là tam giác vuông tại A, tức là \(AC \bot AI\).
Mặt khác, \(C'C \bot \left( {ABC} \right)\) nên \(AC' \bot AI\) (định lí ba đường vuông góc).
Như vậy \(\widehat {C'AC}\) là góc giữa mp(AB1C’) và mp(ABC).
Theo giả thiết thì \(\widehat {C'AC} = \alpha \)
Từ đó \({S_{ABC}} = {S_{A{B_1}{C_1}}}\cos \alpha \)
tức là \({S_{A{B_1}{C_1}}} = {{{S_{ABC}}} \over {\cos \alpha }}\)
Như vậy \({S_{A{B_1}{C_1}}} = {{{a^2}\sqrt 3 } \over {4\cos \alpha }}\)
Ta có: \(CC' = AC\tan \alpha = a\tan \alpha \)
Vậy độ dài cạnh bên của hình lăng trụ đã cho là \(a\tan \alpha \).
soanvan.me