Đề bài
Cho điểm O nằm trên đường thẳng a. Gọi Đ là phép đối xứng qua đường thẳng a, Q là phép quay tâm O góc quay φ và F là phép hợp thành của Đ và Q. Với điểm M bất kì, gọi M’ = F(M) và I là trung điểm của MM’.
a) Tìm quỹ tích của I khi M thay đổi.
b) Chứng minh rằng F là phép đối xứng trục.
Lời giải chi tiết
a) Nếu Đ biến điểm M thành điểm N thì Q biến điểm N thành điểm M’. Gọi J là trung điểm của MN thì J nằm trên a và OJ là phân giác của góc MON.-
Ta có:
\(\eqalign{ & \left( {\overrightarrow {OJ} ,\overrightarrow {OI} } \right) = \left( {\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow {OI} } \right) - \left( {\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow {OJ} } \right) \cr & = {1 \over 2}\left[ {\left( {\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow {OM'} } \right) - \left( {\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow {ON} } \right)} \right] \cr & = {1 \over 2}\left( {\overrightarrow {ON} ,\overrightarrow {OM'} } \right) = {\varphi \over 2}. \cr} \)
Như vậy nếu gọi Q’ là phép quay tâm O góc quay \({\varphi \over 2}\) thì Q biến đường thẳng OJ (tức là đường thẳng a) thành đường thẳng OI. Vậy quỹ tích của I là đường thẳng a’, ảnh của a là phép quay O’.
b) Từ câu a) ta suy ra a’ là trung trực của đoạn thẳng MM’. Suy ra F là phéo đối xứng trục với trục là đường thẳng a’.
soanvan.me