Đề kiểm tra 15 phút - Đề số 5 - Bài 8 - Chương 1 - Đại số 9

Đề bài

Bài 1. Rút gọn :  \(\displaystyle A = {{x\sqrt x  - 1} \over {x - \sqrt x }} - {{x\sqrt x  + 1} \over {x + \sqrt x }} + {{x + 1} \over {\sqrt x }}\)\(\displaystyle \,\,\left( {x > 0;\,x \ne 1} \right)\) 

Bài 2. Chứng minh : \(\displaystyle {{x + 2} \over {x\sqrt x  + 1}} + {{\sqrt x  - 1} \over {x - \sqrt x  + 1}} - {{\sqrt x  - 1} \over {x - 1}} < 1\,\,\left( * \right)\)\(\displaystyle \,\left( {x \ge 0;\,x \ge 1} \right)\)

Lời giải chi tiết

Bài 1. Ta có:

\(\displaystyle A = {{x\sqrt x  - 1} \over {x - \sqrt x }} - {{x\sqrt x  + 1} \over {x + \sqrt x }} + {{x + 1} \over {\sqrt x }}\)\(\displaystyle \,\,\left( {x > 0;\,x \ne 1} \right)\) 

\(\displaystyle \eqalign{  &  = {{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {x + \sqrt x  + 1} \right)} \over {\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right)}} - {{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {x - \sqrt x  + 1} \right)} \over {\sqrt x \left( {\sqrt x  + 1} \right)}} + {{x + 1} \over {\sqrt x }}  \cr  &  = {{x + \sqrt x  + 1 - x + \sqrt x  - 1 + x + 1} \over {\sqrt x }} \cr  &  = {{{x+2\sqrt x  + 1}} \over {\sqrt x }} \cr  &  = {{{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}^2}} \over {\sqrt x }} \cr} \)

Bài 2. Ta có:

\(\displaystyle x\sqrt x  + 1 = \left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {x - \sqrt x  + 1} \right) \), với mọi \(\displaystyle x ≥ 0\) và \(\displaystyle x ≠ 1\)

Nên: 

\(\displaystyle {{x + 2} \over {x\sqrt x  + 1}} + {{\sqrt x  - 1} \over {x - \sqrt x  + 1}} - {{\sqrt x  - 1} \over {x - 1}} < 1\)

\(\displaystyle \eqalign{  &  \Leftrightarrow {{x + 2} \over {\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {x - \sqrt x  + 1} \right)}} + {{\sqrt x  - 1} \over {x - \sqrt x  + 1}} - {{\sqrt x  - 1} \over {\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}} < 1  \cr  &  \Leftrightarrow {{x + 2 + x - 1 - \left( {x - \sqrt x  + 1} \right)} \over {\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {x - \sqrt x  + 1} \right)}} < 1  \cr  &  \Leftrightarrow {{x + \sqrt x } \over {\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {x - \sqrt x  + 1} \right)}} < 1  \cr  &  \Leftrightarrow {{\sqrt x } \over {x - \sqrt x  + 1}} < 1  \cr} \)

\(\displaystyle \begin{array}{l}
\Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt x }}{{x - \sqrt x + 1}} - 1 < 0\\
\Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt x - x + \sqrt x - 1}}{{x - \sqrt x + 1}} < 0\\
\Leftrightarrow \dfrac{{ - \left( {x - 2\sqrt x + 1} \right)}}{{x - \sqrt x + 1}} < 0\\
\Leftrightarrow \dfrac{{ - {{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}{{x - \sqrt x + 1}} < 0
\end{array}\)

Ta có: \(\displaystyle x\sqrt x  + 1 > 0\) và \(\displaystyle \sqrt x  + 1 > 0 \Rightarrow x - \sqrt x  + 1 > 0\)

Và \(\displaystyle -{\left( {\sqrt x  - 1} \right)^2} < 0\)  với \(\displaystyle x ≥ 0\) và \(\displaystyle x ≠ 1\)

Nên \(\displaystyle \dfrac{{ - {{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}{{x - \sqrt x + 1}} < 0\) với \(\displaystyle x ≥ 0\) và \(\displaystyle x ≠ 1\)

Vậy \(\displaystyle {{x + 2} \over {x\sqrt x  + 1}} + {{\sqrt x  - 1} \over {x - \sqrt x  + 1}} - {{\sqrt x  - 1} \over {x - 1}} < 1\) với \(\displaystyle x ≥ 0\) và \(\displaystyle x ≠ 1\) (đpcm)

soanvan.me