Câu hỏi 1 :

Chọn khẳng định đúng. Góc ở tâm là góc

  • A

    Có đỉnh nằm trên đường tròn 

  • B

    Có đỉnh trùng với tâm đường tròn

  • C

    Có hai cạnh là hai đường kính của đường tròn

  • D

    Có đỉnh nằm trên bán kính của đường tròn

Đáp án của giáo viên lời giải hay : B

Lời giải chi tiết :

Góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn được gọi là góc ở tâm.

Câu hỏi 2 :

Chọn khẳng định đúng. Trong một đường tròn, số đo cung nhỏ bằng

  • A

    Số đo cung lớn

  • B

    Số đo của góc ở tâm chắn cung đó

  • C

    Số đo của góc ở tâm chắn cung lớn

  • D

    Số đo của cung nửa đường tròn

Đáp án của giáo viên lời giải hay : B

Lời giải chi tiết :

Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó.

Câu hỏi 3 :

Trong hai cung của một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau, cung nào nhỏ hơn

  • A

    Có số đo lớn hơn

  • B

    Có số đo nhỏ hơn $90^\circ $

  • C

    Có số đo lớn hơn $90^\circ $

  • D

    Có số đo nhỏ hơn

Đáp án của giáo viên lời giải hay : D

Lời giải chi tiết :

Trong hai cung của một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau, cung nào nhỏ hơn thì có số đo nhỏ hơn.

Câu hỏi 4 :

Cho hai tiếp tuyến tại $A$ và $B$ của đường tròn \(\left( O \right)\) cắt nhau tại M, biết \(\widehat {AMB} = {50^0}\) .

Câu 4.1

Tính \(\widehat {AMO}\) và \(\widehat {BOM}\)

  • A

    $\widehat {AMO} = 35^\circ ;\widehat {MOB} = 55^\circ $

  • B

    $\widehat {AMO} = 65^\circ ;\widehat {MOB} = 25^\circ $

  • C

    $\widehat {AMO} = 25^\circ ;\widehat {MOB} = 65^\circ $

  • D

    $\widehat {AMO} = 55^\circ ;\widehat {MOB} = 35^\circ $

Đáp án của giáo viên lời giải hay : C

Phương pháp giải :

Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau

Lời giải chi tiết :

Vì $MA,MB$ là hai tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$ nên  $OM$ là tia phân giác của $\widehat {AOB}$; $MO$ là tia phân giác của $\widehat {AMB}$ hay $\widehat {AMO} = \dfrac{1}{2}\widehat {AMB} = \dfrac{{50^\circ }}{2} = 25^\circ $.

Mà tam giác $OAM$ vuông tại $A$ (do $MA$ là tiếp tuyến) nên $\widehat {MOA} = 90^\circ  - \widehat {AMO} = 65^\circ $

Mà $OM$ là tia phân giác của $\widehat {AOB}$ nên $\widehat {MOB} = \widehat {MOA} = 65^\circ $.

Vậy $\widehat {AMO} = 25^\circ ;\widehat {MOB} = 65^\circ. $

Câu 4.2

Số đo cung \(AB\) nhỏ và số đo cung \(AB\) lớn lần lượt là

  • A

    $130^\circ ;250^\circ $

  • B

    $130^\circ ;230^\circ $

  • C

    $230^\circ ;130^\circ $

  • D

    $150^\circ ;210^\circ $

Đáp án của giáo viên lời giải hay : B

Phương pháp giải :

Sử dụng định lý tổng các góc trong tứ giác và số đo cung.

Lời giải chi tiết :

Xét tứ giác $OAMB$ có

$\widehat {BOA} + \widehat {OBM} + \widehat {OAM} + \widehat {AMB} = 360^\circ  \Rightarrow \widehat {BOA} = 360^\circ  - 90^\circ  - 90^\circ  - 50^\circ  = 130^\circ $

Suy ra số đo cung nhỏ $AB$ là $130^\circ $; số đo cung lớn $AB$ là $360^\circ  - 130^\circ  = 230^\circ $.

Câu hỏi 5 :

Cho tam giác $ABC$ đều nội tiếp đường tròn $\left( O \right)$. Tính số đo cung $AC$ lớn.

  • A

    $240^\circ $

  • B

    $120^\circ $

  • C

    $360^\circ $

  • D

    $210^\circ $

Đáp án của giáo viên lời giải hay : A

Phương pháp giải :

Sử dụng định lý tổng các góc trong tam giác và số đo cung.

Lời giải chi tiết :

Vì tam giác $ABC$ đều có $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp nên $O$ cũng là giao ba đường phân giác nên $AO;CO$ lần lượt là các đường phân giác $\widehat {BAC}$;  $\widehat {ACB}$.

Ta có $\widehat {CAO} = \dfrac{1}{2}\widehat {BAC} = \dfrac{{60^\circ }}{2} = 30^\circ $;$\widehat {ACO} = \dfrac{1}{2}\widehat {ACB} = \dfrac{{60^\circ }}{2} = 30^\circ $

Xét tam giác $AOC$ có $\widehat {AOC} = 180^\circ  - \widehat {CAO} - \widehat {ACO} = 120^\circ $ nên số đo cung nhỏ $AC$ là $120^\circ $.

Do đó số đo cung lớn $AC$ là $360^\circ  - 120^\circ  = 240^\circ $.

Câu hỏi 6 :

Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\), lấy điểm \(M\) nằm ngoài \(\left( O \right)\) sao cho \(OM = 2R.\) Từ M kẻ tiếp tuyến \(MA\) và \(MB\) với \(\left( O \right)\) (\(A,B\) là các tiếp điểm).

Câu 6.1

Số đo góc $\widehat {AOM}$ là

  • A

    $30^\circ $

  • B

     $120^\circ $

  • C

    $50^\circ $

  • D

    $60^\circ $

Đáp án của giáo viên lời giải hay : D

Phương pháp giải :

Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn

Lời giải chi tiết :

Xét tam giác $AOM$ vuông tại $A$ ta có $\cos \widehat {AOM} = \dfrac{{OA}}{{OM}} = \dfrac{R}{{2R}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \widehat {AOM} = 60^\circ .$

Câu 6.2

Số đo cung \(AB\) nhỏ là

  • A

    $240^\circ $

  • B

    $120^\circ $

  • C

    $360^\circ $

  • D

    $210^\circ $

Đáp án của giáo viên lời giải hay : B

Phương pháp giải :

Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau và số đo cung

Lời giải chi tiết :

Xét đường tròn $\left( O \right)$ có $MA;MB$ là hai tiếp tuyến cắt nhau tại $M$ nên $OM$ là tia phân giác của góc $\widehat {AOB}$

Suy ra $\widehat {AOB} = 2\widehat {AOM} = 2.60^\circ  = 120^\circ $ mà $\widehat {AOB}$ là góc ở tâm chắn cung \(AB\)

Nên số đo cung nhỏ \(AB\) là $120^\circ $.

Câu hỏi 7 :

Cho \(\left( {O;R} \right)\) và dây cung \(MN = R\sqrt 3 .\) Kẻ \(OI\) vuông góc với \(MN\) tại $I$ .

Câu 7.1

Tính độ dài \(OI\) theo $R$ .

  • A

    $\dfrac{{R\sqrt 3 }}{3}$

  • B

    $\dfrac{R}{{\sqrt 2 }}$

  • C

    $\dfrac{R}{3}$

  • D

    $\dfrac{R}{2}$

Đáp án của giáo viên lời giải hay : D

Phương pháp giải :

Sử dụng liên hệ giữa đường kính và dây cung.

Sử dụng định lý Pytago.

Lời giải chi tiết :

Xét $\left( O \right)$ có $OI \bot MN$ tại $I$ nên $I$ là trung điểm của dây $MN$ (đường kính vuông góc với dây thì đi qua trung điểm của dây đó) $ \Rightarrow MI = IN=\dfrac{MN}2 = \dfrac{{\sqrt 3 R}}{2}$

Xét tam giác $OIM$ vuông tại $I$, theo định lý Pytago ta có $O{I^2} = O{M^2} - M{I^2}$

$\Rightarrow OI = \sqrt {{R^2} - {{\left( {\dfrac{{\sqrt 3 R}}{2}} \right)}^2}} $$= \sqrt {{R^2} - \dfrac{{ 3 R^2}}{4}}  =\sqrt { \dfrac{ R^2}{4}}= \dfrac{R}{2}$

Câu 7.2

Tính số đo cung nhỏ $MN.$ 

  • A

    $120^\circ $

  • B

    $150^\circ $

  • C

    $90^\circ $

  • D

    $145^\circ $

Đáp án của giáo viên lời giải hay : A

Phương pháp giải :

Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn và số đo cung

“Số đo cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó”

Lời giải chi tiết :

Xét tam giác $OIM$ vuông tại $I$ ta có $\sin \widehat {MOI} = \dfrac{{MI}}{{MO}} = \dfrac{{\sqrt 3 R}}{2}:R = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \widehat {MOI} = 60^\circ $

$\Delta MON$ cân tại $O$ có $OI$ vừa là đường cao vừa là đường phân giác nên $\widehat {MON} = 2\widehat {MOI} = 2.60^\circ  = 120^\circ $

Suy ra số đo cung nhỏ $MN$ là $120^\circ $.

Câu hỏi 8 :

Cho tam giác \(ABC\) cân tại $A$ . Vẽ đường tròn tâm $O$, đường kính \(BC\). Đường tròn \(\left( O \right)\) cắt $AB$, $AC$ lần lượt tại \(I,K.\)

 

Câu 8.1

So sánh các cung nhỏ $BI$ và cung nhỏ $CK$

  • A

    Số đo cung nhỏ $BI$ bằng số đo cung nhỏ $CK$

  • B

    Số đo cung nhỏ $BI$ nhỏ hơn số đo cung nhỏ $CK$

  • C

    Số đo cung nhỏ $BI$ lớn hơn  số đo cung nhỏ $CK$

  • D

    Số đo cung nhỏ $BI$ bằng  hai lần số đo cung nhỏ $CK$

Đáp án của giáo viên lời giải hay : A

Phương pháp giải :

Sử dụng tam giác bằng nhau

So sánh hai cung

Lời giải chi tiết :

Xét các tam giác $\Delta IBC$ và .$\Delta KBC$ có $BC$ là đường kính của $\left( O \right)$ và $I;K \in \left( O \right)$

Nên $\Delta IBC$ vuông tại $I$ và $\Delta KBC$ vuông tại $K$

Xét  hai tam giác vuông $\Delta IBC$ và .$\Delta KBC$ ta có $BC$ chung; $\widehat {ACB} = \widehat {ABC}$ (do$\Delta ABC$ cân)

$ \Rightarrow \Delta IBC = \Delta KCB\left( {ch - gn} \right) \Rightarrow IB = CK$

Suy ra $\Delta COK = \Delta IOB\left( {c - c - c} \right)$$ \Rightarrow \widehat {COK} = \widehat {IOB}$ suy ra số đo hai cung nhỏ $CK$ và $BI$ bằng nhau.

Câu 8.2

Tính $\widehat {IOK}$ biết $\widehat {BAC} = 40^\circ $

  • A

    $80^\circ $

  • B

    $100^\circ $

  • C

    $60^\circ $

  • D

    $40^\circ $

Đáp án của giáo viên lời giải hay : B

Phương pháp giải :

Sử dụng tổng các góc trong tam giác

Lời giải chi tiết :

Xét tam giác $ABC$ cân tại $A$ có $\widehat A = 40^\circ  \Rightarrow \widehat {KBO} = \widehat {ICO} = 70^\circ $

Xét tam giác $OKB$cân tại $O$ có $\widehat {KBO} = 70^\circ  \Rightarrow \widehat {KOB} = 180^\circ  - 2.70^\circ  = 40^\circ $

Tương tự ta có $\widehat {IOC} = 40^\circ $

Suy ra $\widehat {IOK} = 180^\circ  - 40^\circ  - 40^\circ  = 100^\circ $

Câu hỏi 9 :

Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right).\) Gọi \(H\) là trung điểm của bán kính \(OA\). Dây \(CD\) vuông góc với \(OA\) tại $H$ . Tính số đo cung lớn \(CD.\)

  • A

    $260^\circ $

  • B

    $300^\circ $

  • C

    $240^\circ $

  • D

    $120^\circ $

Đáp án của giáo viên lời giải hay : C

Phương pháp giải :

+) Sử dụng liên hệ giữa đường kính và dây

+) Kiến thức về số đo cung

Lời giải chi tiết :

Xét đường tròn$\left( O \right)$ có $OA \bot CD$ tại $H$ nên $H$ là trung điểm của $CD$

Tứ giác $OCAD$ có hai đường chéo vuông góc và giao nhau tại trung điểm mỗi đường nên $OCAD$ là hình thoi.

$ \Rightarrow OC = CA$ mà $OC = OA$ nên $OC = OA = AC$ hay tam giác $OAC$ đều $ \Rightarrow \widehat {COA} = 60^\circ  \Rightarrow \widehat {COD} = 120^\circ $

Do đó số đo cung nhỏ $CD$ là $120^\circ $ và số đo cung lớn $CD$ là $360^\circ  - 120^\circ  = 240^\circ $.

Câu hỏi 10 :

Cho đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(AB,\) vẽ góc ở tâm \(\widehat {AOC} = 55^\circ \) . Vẽ dây \(CD\) vuông góc với \(AB\) và dây \(DE\) song song với \(AB.\) Tính số đo cung nhỏ \(BE\)

  • A

    $55^\circ $

  • B

    $60^\circ $

  • C

    $40^\circ $

  • D

    $50^\circ $

Đáp án của giáo viên lời giải hay : A

Phương pháp giải :

Bước 1: Chứng minh $E;O;C$ thẳng hàng

Bước  2: Tính  số đo cung thông qua góc ở tâm

Lời giải chi tiết :

Xét $\left( O \right)$ có $CD \bot OA;ED{\rm{//}}OA \Rightarrow CD \bot ED$ hay $\widehat {EDC} = 90^\circ $ mà $E;D;C \in \left( O \right)$ nên $EC$ là đường kính của $\left( O \right)$ hay $E;O;C$ thẳng hàng.

Do đó $\widehat {BOE} = \widehat {COA} = 55^\circ $ (đối đỉnh) nên số đo cung nhỏ $BE$ là $55^\circ $.