Số đo \(n^\circ \) của cung tròn có độ dài \(30,8\,cm\) trên đường tròn có bán kính \(22\,cm\) là ( lấy \(\pi \simeq 3,14\) và làm tròn đến độ)
-
A
$70^\circ $
-
B
$80^\circ $
-
C
$65^\circ $
-
D
$85^\circ $
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
Sử dụng công thức tính độ dài cung tròn:
Trên đường tròn bán kính$R$ , độ dài $l$ của một cung \(n^\circ \) được tính theo công thức \(l = \dfrac{{\pi Rn}}{{180}}\,\).
Độ dài cung tròn \(l = \dfrac{{\pi Rn}}{{180}}\, \Leftrightarrow \dfrac{{\pi .22.n}}{{180}} = 30,8 \Rightarrow n \approx 80^\circ \).
Tính độ dài cung \(30^\circ \) của một đường tròn có bán kính \(4\,dm\)
-
A
$\dfrac{{4\pi }}{3}(dm)$
-
B
$\dfrac{\pi }{3}(dm)$
-
C
$\dfrac{\pi }{6}(dm)$
-
D
$\dfrac{{2\pi }}{3}(dm)$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
Sử dụng công thức tính độ dài cung tròn:
Trên đường tròn bán kính$R$ , độ dài $l$ của một cung \(n^\circ \) được tính theo công thức \(l = \dfrac{{\pi Rn}}{{180}}\,\).
Độ dài cung tròn \(l = \dfrac{{\pi Rn}}{{180}}\, = \dfrac{{\pi .4.30}}{{180}} = \dfrac{{2\pi }}{3} (dm)\).
Chu vi đường tròn bán kính \(R = 9\) là
-
A
$18\pi $
-
B
$9\pi $
-
C
$12\pi $
-
D
$27\pi $
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Sử dụng công thức chu vi đường tròn bán kính \(R\) là \(C = 2\pi R\,\)
Chu vi \(C = 2\pi R = 2\pi .9 = 18\pi \).
Biêt chu vi đường tròn là \(C = 36\pi (cm)\). Tính đường kính của đường tròn.
-
A
$18(cm)$
-
B
$14(cm)$
-
C
$36(cm)$
-
D
$20 (cm)$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
Sử dụng công thức chu vi đường tròn đường kính \(d = 2R\) là \(C = \pi d\,\)
Chu vi \(C = \pi d = 36\pi \Rightarrow d = 36\). Vậy đường kính cần tìm là \(36(cm)\) .
Cho ba điểm $A,B,C$ thẳng hàng sao cho $B$ nằm giữa $A$ và $C$ . Chọn khẳng định nào sau đây đúng?
-
A
Độ dài nửa đường tròn đường kính $AC$ bằng hiệu các độ dài của hai nửa đường tròn đường kính $AB$ và $BC$
-
B
Độ dài nửa đường tròn đường kính $AC$ bằng tổng các độ dài của hai nửa đường tròn đường kính $AB$ và $BC$ .
-
C
Độ dài nửa đường tròn đường kính $BC$ bằng tổng các độ dài của hai nửa đường tròn đường kính $AB$ và $AC$
-
D
Độ dài nửa đường tròn đường kính $AB$ bằng tổng các độ dài của hai nửa đường tròn đường kính $AC$ và $BC$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
Sử dụng công thức tính độ dài nửa đường tròn bán kính $R$ (nửa chu vi đường tròn):
\(l = \pi R\).
Độ dài nửa đường tròn đường kính \(AC\) là \({l_1} = \pi .\dfrac{{AC}}{2}\) .
Độ dài nửa đường tròn đường kính \(AB\) là \({l_1} = \pi .\dfrac{{AB}}{2}\) .
Độ dài nửa đường tròn đường kính \(BC\) là \({l_1} = \pi .\dfrac{{BC}}{2}\) .
Mà ba điểm $A,B,C$ thẳng hàng sao cho $B$ nằm giữa $A$ và $C$ nên \(AB + BC = AC\)
Do đó \({l_1} = \pi .\dfrac{{AC}}{2} = \pi \left( {\dfrac{{AB}}{2} + \dfrac{{BC}}{2}} \right) = \pi .\dfrac{{AB}}{2} + \pi .\dfrac{{BC}}{2} = {l_2} + {l_3}\)
Vậy độ dài nửa đường tròn đường kính $AC$ bằng tổng các độ dài của hai nửa đường tròn đường kính $AB$ và $BC$ .
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ , cạnh $AB = 5\,\,cm$ , \(\widehat B = {60^ \circ }\). Đường tròn tâm $I$ , đường kính $AB$ cắt $BC$ ở $D$ . Chọn khẳng định sai?
-
A
Độ dài cung nhỏ $BD$ của \(\left( I \right)\) là $\dfrac{\pi }{6}\,\,\left( {cm} \right)$
-
B
$AD \bot BC$
-
C
$D$ thuộc đường tròn đường kính \(AC\)
-
D
Độ dài cung nhỏ $BD$ của \(\left( I \right)\) là \(\dfrac{{5\pi }}{6}\,\,\left( {cm} \right)\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
+ Sử dụng góc nội tiếp chắn nửa đường tròn bằng \(90^\circ \)
+ Sử dụng công thức tính độ dài cung tròn:
Trên đường tròn bán kính$R$ , độ dài $l$ của một cung \(n^\circ \) được tính theo công thức \(l = \dfrac{{\pi Rn}}{{180}}\,\).
+ Xét đường tròn \(\left( I \right)\) đường kính \(AB\) có \(\widehat {ADB} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Nên $AD \bot BC \Rightarrow $ phương án B đúng.
+) Gọi \(K\) là trung điểm của \(AC \Rightarrow KA = KC = KD \Rightarrow K\) đường tròn đường kính \(AC \Rightarrow \) phương án C đúng.
+) Ta có \(\Delta IBD\) cân tại \(I\) có \(\widehat B = 60^\circ \Rightarrow \Delta IBD\) đều nên \(\widehat {BID} = 60^\circ \)
Độ dài cung nhỏ \(BD\) của \(\left( I \right)\) là $l = \dfrac{{\pi .\dfrac{5}{2}.60}}{{180^\circ }} = \dfrac{{5\pi }}{6}\,\left( {cm} \right) \Rightarrow $ phương án D đúng.
Cho tam giác $ABC$ có \(AB = AC = 3\,\,cm,\,\,\widehat {\rm{A}} = {120^o}.\)Tính độ dài đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ .
-
A
$12\pi $
-
B
$9\pi $
-
C
$6\pi $
-
D
$3\pi $
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
Sử dụng công thức chu vi đường tròn bán kính \(R\) là \(C = 2\pi R\,\).
Gọi \(O\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) . Vì tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) nên \(AO\) vừa là đường cao vừa là phân giác của \(\widehat {BAC}\)
Suy ra \(\widehat {CAO} = \dfrac{{120^\circ }}{2} = 60^\circ \) . Xét tam giác \(CAO\) có \(OA = OC;\widehat {CAO} = 60^\circ \Rightarrow \Delta CAO\) đều nên \(OA = OC = AC = 3\,cm\) .
Nên bán kính đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\) là \(R = 3\,cm\)
Chu vi đường tròn \(\left( O \right)\) là \(C = 2\pi R = 6\pi \,\,\left( {cm} \right)\)
Chu vi đường tròn ngoại tiếp tam giác đều cạnh \(a\,\left( {cm} \right)\) là
-
A
$\dfrac{{4\pi a\sqrt 3 }}{3} (cm)$
-
B
$\dfrac{{2\pi a\sqrt 3 }}{3} (cm)$
-
C
$\dfrac{{\pi a\sqrt 3 }}{3} (cm)$
-
D
$\dfrac{{5\pi a\sqrt 3 }}{3}(cm)$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
Sử dụng công thức chu vi đường tròn bán kính \(R\) là \(C = 2\pi R\,\)
Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều \(BAC\) , suy ra \(O\) cũng là trọng tâm của tam giác \(ABC\) .
Tia \(CO \bot AB\) tại \(D\) thì $D$ là trung điểm của \(AB\) \( \Rightarrow OC = \dfrac{2}{3}CD\)
Xét tam giác vuông \(ADC\) có \(AC = a\,;\,\widehat {CAD} = 60^\circ \Rightarrow CD = AC.\sin 60^\circ = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\) \( \Rightarrow OC = \dfrac{2}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\)
Nên bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) là \(R = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow C = 2\pi R = \dfrac{{2\pi a\sqrt 3 }}{3}\) .
Cho đường tròn $\left( O \right)$ bán kính $OA$ . Từ trung điểm $M$ của $OA$ vẽ dây\(BC \bot OA.\) Biết độ dài đường tròn $\left( O \right)$ là \(4\pi \,(cm).\) Độ dài cung lớn \(BC\) là
-
A
$\dfrac{{4\pi }}{3}$
-
B
$\dfrac{{5\pi }}{3}$
-
C
$\dfrac{{7\pi }}{3}$
-
D
$\dfrac{{8\pi }}{3}$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
Bước 1: Tìm bán kính của đường tròn dựa vào công thức tính chu vi \(C = 2\pi R.\)
Bước 2: Sử dụng công thức tính độ dài cung tròn: \(l = \dfrac{{\pi Rn}}{{180}}.\)
Vì độ dài đường tròn là \(4\pi \) nên $4\pi = 2\pi .R \Rightarrow R = 2\,cm$ (\(R\) là bán kính đường tròn)
Xét tứ giác \(ABOC\) có hai đường chéo \(AO \bot BC\) tại \(M\) là trung điểm mỗi đường nên tứ giác \(ABOC\) là hình thoi.
Suy ra \(OB = OC = AB \Rightarrow \Delta ABO\) đều \( \Rightarrow \widehat {AOB} = 60^\circ \Rightarrow \widehat {BOC} = 120^\circ \)
Suy ra số đo cung lớn \(BC\) là \(360^\circ - 120^\circ = 240^\circ \)
Độ dài cung lớn \(BC\) là \(l = \dfrac{{\pi .2.240}}{{180}} = \dfrac{{8\pi }}{3}\,\left( {cm} \right).\)
Cho đường tròn $(O; R)$ với dây cung $BC$ cố định. Điểm $A$ thuộc cung lớn $BC$. Đường phân giác của góc \(\widehat {BAC}\) cắt đường tròn $(O$) tại $D$. Các tiếp tuyến của đường tròn $(O; R)$ tại $C$ và $D$ cắt nhau tại $E$. Tia $CD$ cắt $AB$ tại $K$, đường thẳng $AD$ cắt $CE$ tại $I.$
Chọn khẳng định sai.
-
A
\(BC{\rm{//}}DE\)
-
B
$AKIC$ là tứ giác nội tiếp
-
C
$AKIC$ không là tứ giác nội tiếp
-
D
$OD \bot BC$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
Sử dụng các kiến thức về liên hệ giữa đường kính và dây cung, góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung, các dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp.
+ Vì \(AD\) là tia phân giác \(\widehat {BAC} \Rightarrow D\) là điểm chính giữa cung \(BC\) .
Nên \(OD \bot BC\) \( \Rightarrow \) phương án D đúng
+ Mà \(DE \bot OD\) (\(DE\) là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\)) suy ra \(BC{\rm{//}}DE\) \( \Rightarrow \) phương án A đúng.
+) Xét \(\left( O \right)\) có \(\widehat {DAC} = \widehat {DCI}\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung \(DC\) )
Mà \(\widehat {BAD} = \widehat {DAC}\) ($AD$ là phân giác) nên \(\widehat {KAI} = \widehat {KCI}\) nên tứ giác \(KICA\) nội tiếp \( \Rightarrow \) phương án B đúng.
Cho \(BC = R\sqrt 3 .\)Tính theo $R$ độ dài cung nhỏ $BC$ của đường tròn (O; R).
-
A
\(\dfrac{{2\pi R}}{3}\)
-
B
$\dfrac{{5\pi R}}{3}$
-
C
$\dfrac{{7\pi R}}{3}$
-
D
$\dfrac{{4\pi R}}{3}$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Bước 1: Tìm số đo cung bằng cách sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn
Bước 2: Sử dụng công thức tính độ dài cung tròn:
Trên đường tròn bán kính$R$ , độ dài $l$ của một cung \(n^\circ \) được tính theo công thức \(l = \dfrac{{\pi Rn}}{{180}}\,\).
Gọi \(OD \cap BC\) tại \(H\) thì \(H\) là trung điểm \(BC\) (do \(OD \bot BC\) tại \(H\) )\( \Rightarrow HC = \dfrac{{BC}}{2} = \dfrac{{R\sqrt 3 }}{2}\)
Xét tam giác vuông \(HOC\) có \(\sin \widehat {HOC} = \dfrac{{HC}}{{OC}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \widehat {HOC} = 60^\circ \Rightarrow \widehat {BOC} = 120^\circ \)
Độ dài cung nhỏ \(BC\) là \(l = \dfrac{{\pi .R.120}}{{180}} = \dfrac{{2\pi R}}{3}\) \(\left( {cm} \right)\) .
Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O; R). Kẻ đường kính AD cắt BC tại H. Gọi M là một điểm trên cung nhỏ AC. Hạ \(BK \bot AM\) tại K. Đường thẳng BK cắt CM tại E. Tia BE cắt đường tròn (O; R) tại N (N khác B).
Chọn câu đúng. Tam giác MBE
-
A
Cân tại \(M\)
-
B
Vuông tại \(M\)
-
C
Cân tại B
-
D
Tam giác đều
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Chứng minh tam giác \(MBE\) có hai góc ở đáy bằng nhau
Sử dụng:
+ Số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo cung bị chắn
+ Góc có đỉnh bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn
Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có tam giác \(ABC\) đều nên sđ \(AB = sd\,AC = sd\,BC = \dfrac{{360^\circ }}{3} = 120^\circ \)
\(\widehat {AMB}\) là góc nội tiếp chắn cung \(AB \Rightarrow \widehat {AMB} = \dfrac{1}{2}sd\,AB = \dfrac{{120^\circ }}{2} = 60^\circ \)
Suy ra \(\widehat {KBM} = 90^\circ - \widehat {KMB} = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \) suy ra \(sd\,NM = 2.\widehat {NBM} = 2.30^\circ = 60^\circ \)
\(\widehat {NBM} = 30^\circ \left( {cmt} \right)\) và \(\widehat {BEM} = \dfrac{1}{2}\left( {sd\,BC - sd\,NM} \right) = \dfrac{1}{2}\left( {120^\circ - 60^\circ } \right) = 30^\circ \) nên tam giác \(MBE\) cân tại \(M.\)
Tính độ dài cung nhỏ MN theo R.
-
A
\(\pi R\)
-
B
\(\dfrac{{\pi R}}{2}\)
-
C
\(\dfrac{{\pi R}}{3}\)
-
D
\(\dfrac{{\pi R}}{4}\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
Cung tròn có bán kính \(R\) và số đo \(n^\circ \) thì có độ dài \(l = \dfrac{{\pi Rn}}{{180}}.\)
Độ dài cung \(NM\) là \(l = \dfrac{{\pi R.60}}{{180}} = \dfrac{{\pi R}}{3}.\)